Définitions
Nous limiterons l'étude aux fonctions à \(2\) ou \(3\) variables avec des conclusions extrapolables à \(n\) variables.
Définition : Fonction scalaire de plusieurs variables
On appelle fonction réelle de \(n\) variables indépendantes réelles, une application \(f\) d'un domaine \(D_f\) de \(\mathbb R^n\) dans \(\mathbb R.\)
Notation :\(\color{red}\begin{array}{r c l} f : (x_1, x_2, \ldots, x_n) &\rightarrow &f (x_1, x_2, \ldots, x_n)\\\mathbb R^n &\rightarrow& \mathbb R\end{array}\)
Si \(f\) est une fonction d'un point \(M\) de l'espace, de coordonnées \((x, y, z),\) on dit que \(f (x, y, z) = f (M)\) est une fonction à variables scalaires.
Exemple :
Cas de 2 variables
\(P=n\frac{RT}{V}=f(T,V)\)
La pression d'un Gaz Parfait est fonction de la température \(T\) et du volume \(V.\)
\(T=2\pi\sqrt{\frac{1}{g}}=f(1,g)\)
La période d'un pendule simple est fonction de la longueur du fil et de l'accélération de la pesanteur \(g.\)
Cas de 3 variables
\(V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}~~(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2})\)
Le potentiel scalaire d'un point \(M(x, y, z)\) dans l'espace.
\(W = RI^2 t = f (R, I, t)\)
Chaleur dégagée par effet Joule dans une résistance ohmique.
Définition : Fonction composée de plusieurs variables
Soit une fonction \(f (u, v)\) avec \(u\) et \(v\) fonctions des variables indépendantes \(x\) et \(y,\) alors
\(f [ u(x, y) , v(x, y)]\) est une fonction composée de \(x\) et \(y.\)