Dérivées - Différentielles

Pour une fonction de deux variables \(f(x, y),\) au voisinage d'un point \(M_0(x_0, y_0) ,\) la formule de Taylor s'écrit :

\(\begin{array}{|r|}\hline\\ f(x,y)=f(x_0,y_0)+\frac{1}{1!}[(x-x_0)f_x'(x_0,y_0)+(x-x_0)f_y'(x_0,y_0)]+\\\\\frac{1}{2!}[(x-x_0)^2f_{x^2}''(x_0,y_0)+2(x-x_0)(y-y_0)f_{xy}''(x_0,y_0)+\\\\(y-y_0)^2f_{y^2}''(x_0,y_0)]+\ldots\\\\\hline\end{array}\)

Pour le point \((0, 0),\) la formule de Taylor nous fournit celle de Mac Laurin :

\(\begin{array}{|l|}\hline\\f(x,y)=f(0,0)+[xf_x'(0,0)+yf_y'(0,0)]\\\\+\frac{1}{2!}[x^2f_{x^2}''(0,0)+2xyf_{xy}''(0,0)+y^2f_{y^2}''(0,0)] \\\\\hline\end{array}\)