Dérivées partielles du 1er ordre en un point
Accroissement partiel d'une fonction
Soit \(f (x, y)\) une fonction, à valeur scalaire, de deux variables indépendantes \(x\) et \(y.\) En un point \(M_0 (x_0, y_0),\) faisons subir à la variable \(x\) l'accroissement \(\Delta x\) \((y\) restant constant), alors la fonction varie de l'accroissement :
\(\boxed{\color{red}\Delta _x f = f( x_0 + \Delta x, y_0) - f (x_0, y_0)}\)
Définition : Dérivée partielle de f en un point
Par définition, la dérivée de \(f\) en \(M_0,\) si elle existe, est appelée dérivée partielle de \(f\) par rapport à \(x\) au point \(M_0\) et sera notée :
\(\boxed{f'_x(M_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}}\)
De même pour la variable \(y,\) nous aurons :
\(\boxed{f'_y(M_0)=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}}\)
Fonction dérivée partielle
Si la fonction \(f (x, y)\) admet des dérivées partielles en tout point d'un domaine \(D,\) on définit les fonctions dérivées premières de \(f\) par les applications :
\(f'_x :(x,y)\rightarrow f'_x(x,y)=\frac{\delta f}{\delta x}(x, y)\\\\f'_y :(x,y)\rightarrow f_y'(x,y)=\frac{\delta f}{\delta y}(x, y)\)