Dérivées - Différentielles

Nous avons les mêmes règles de dérivation que pour les fonctions d'une variable. Considérons le cas de trois variables :

Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions de variables indépendantes \(x,\) \(y\) et \(z,\) alors :

si \(F = f + g \Rightarrow F_x' = (f + g)_x' = f_x ' + g_x '\)

si \(G = f g \Rightarrow G_y' = (f g)_y' = f_y' g + f g_y'\)

si \(H = f / g \Rightarrow H_z'=(\frac{f}{g})'_z=\frac{f_z'g-fg_z'}{g^2}\)

• Cas où \(u = u(x)\) et\( v = v(x)\) avec \(F(x) = f [ u(x), v(x)]\)

  La fonction dérivée par rapport à la variable \(x\) s'écrit :

  \(\color{red}F '(x) = f_u '(u, v) . u'(x) + f_v '(u, v) . v'(x)\)

  Notation :

  \(F'(x)=\frac{dF}{dx}\): fonction dérivée de \(F\) par rapport à \(x.\)

  \(f_u'(u,v)=\frac{\delta f(u,v)}{\delta u}\): dérivée partielle de \(f\) par rapport à \(u.\)

  \(u'(x)=\frac{du}{dx}\): dérivée de \(u\) par rapport à \(x.\)

• Cas où \(u = u(x, y)\) et \(v = v(x, y)\) et avec \(G(x, y) = g [ u(x, y), v(x, y)]\)

  La fonction \(G(x, y)\) admet deux dérivées partielles :

  \(G_x ' (x, y) = g_u '(u, v) . u_x '(x, y) + g_v '(u, v) . v_x '(x, y)\)

  \(G_y ' (x, y) = g_u '(u, v) . u_y '(x, y) + g_v '(u, v) . v_y '(x, y)\)

  Notation :

  \(G_x'(x,y)=\frac{\delta G}{\delta x}(x,y)\\\\G_y'(x,y)=\frac{\delta G}{\delta y}(x, y)\)dérivées partielles premières de \(G\) par rapport à \(x\) ou \(y.\)

  \(g_u'(x,y)=\frac{\delta g}{\delta u}(u,v)\\\\g_v'(x,y)=\frac{\delta g}{\delta v}(u, v)\)dérivées partielles premières de \(g\) par rapport à \(u\) ou \(v\)

  \(u_x'(x,y)=\frac{\delta u}{\delta x}(x, y),~u_y'(x,y)=\frac{\delta u}{\delta y}(x,y)\\\\v_x'(x,y)=\frac{\delta v}{\delta x}(x, y),~v_y'(x,y)=\frac{\delta v}{\delta y}(x,y)\)dérivées partielles de \(u\) et \(v\) par rapport aux variables \(x\) et \(y.\)