Dérivées partielles d'ordre supérieur
Dérivée partielle d'ordre 2 d'une fonction de 2 variables
Soit \(f\) une fonction de 2 variables \(x\) et \(y,\) qui admet deux fonctions dérivées :
\(f_x'(x,y)=\frac{\delta f}{\delta x}(x,y)=\rho(x,y)\) et\(f_y'(x,y)=\frac{\delta f}{\delta y}(x,y)=\psi(x,y)\)
Si ces deux fonctions \(\rho\) et \(\psi\) sont aussi dérivables, alors leurs dérivées sont appelées dérivées partielles de \(f\) et seront notées
\(\frac{\delta \rho(x,y)}{\delta x}=\frac{\delta f^2(x,y)}{\delta x^2}=f_{x^2}''~~~~\frac{\delta \psi(x,y)}{\delta x}=\frac{\delta f^2(x,y)}{\delta x\delta y}=f_{xy}''\\\\\frac{\delta \rho(x,y)}{\delta y}=\frac{\delta f^2(x,y)}{\delta y\delta x}=f_{yx}''~~~~\frac{\delta \psi(x,y)}{\delta y}=\frac{\delta f^2(x,y)}{\delta y^2}=f_{y^2}''\)
Théorème : de Schwarz
Si une fonction \(f (x, y)\) admet en un point des dérivées partielles continues \(f_x '(x, y)\) et \(f_y '(x, y),\) alors les dérivées partielles secondes croisées sont égales :
\(f_{xy}''(x,y)=f_{yx}''(x,y)\) ou\(\frac{\delta ^2 f}{\delta x \delta y}=\frac{\delta^2 f}{\delta y \delta x}\)
Cas d'une fonction de 3 variables \(f(x, y, z)\) alors :
\(\color{red}f_{xy}'' = f_{yx}'' ~;~ f_{xz}'' = f_{zx}''~ ;~ f_{yz}'' = f_{zx}''\)