Dérivées - Différentielles

On appelle différentielle totale du 1er ordre d'une fonction \(f (x, y)\) l'expression :

\(\color{red} df (x, y) = df = f_x' dx + f_y' dy~(2~ \textrm{variables})\)

\(df (x, y, z) = df = f _x' dx + f _y' dy + f _z' dz~ (3~\textrm{variables})\)

On appelle forme différentielle à 2 variables \(x\) et \(y,\) une expression de la forme :

\(\omega(x, y) = P(x, y) dx + Q(x, y) dy\)

où \(P\) et \(Q\) sont des fonctions de variables \(x\) et \(y.\)

La forme différentielle est dite exacte, si il existe une application \(f\) dont la différentielle totale est :

\(df = \omega(x, y) = P(x, y) dx + Q(x, y) dy\)

Cette différentielle totale est une forme différentielle particulière où les fonctions \(P\) et \(Q\) sont reliées aux dérivées partielles de la fonction \(f (x, y)\) par :

\(P(x,y)=\frac{\delta f(x,y)}{\delta x}\) et \(Q(x,y)=\frac{\delta f(x,y)}{\delta y}\)

L'application du théorème de Schwarz entre les dérivées "croisées" conduit dans le cas de la différentielle exacte à la relation entre les fonctions \(P\) et \(Q\) :

\(\frac{\delta^2f}{\delta x \delta y}=\frac{\delta^2 f}{\delta y \delta x}\Leftrightarrow \frac{\delta P(x,y)}{\delta y}=\frac{\delta Q(x,y)}{\delta x}\Leftrightarrow P_y'=Q_x'\)

Dans le cas d'une fonction de 3 variables \(f (x, y, z)\) : la différentielle totale s'exprime par :

\(df = P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz\)

avec les relations dues au théorème de Schwarz :

\(P_y' = Q_x'~ ;~ Q_z' = R_y'~ ;~ P_z' = R_x'\)

On appelle facteur intégrant de la forme différentielle \(\omega (x, y),\) une fonction \(\lambda (x, y)\) telle que \(\lambda~\omega ~(x, y)\) soit une différentielle \(F(x, y)\) :

\(\boxed{\color{red}\lambda~ \omega~(x, y) = dF}\)