L'intégrale simple

Après intégration, nous avons :

\(\boxed{I_1=2\ln(1+\sqrt x)+C_1}\)et \(\boxed{I_2=-\frac12\int u_2^3du_2}\)

\((C_1\) et\(C_2\) des constantes)

Calcul de \(I_1=\int\frac{dx}{x+\sqrt x}~~(x>0).\) posons \(u_1=\sqrt x\)

D'ou : \(du_1=\frac{dx}{2\sqrt x}=\frac{dx}{2u_1}\)

\(I_1=\int\frac{2u_1}{u_1^2+u_1}du_1=2\int\frac{du_1}{u_1+1}\)

\(I_1=2\ln|1+u_1|+C_1=\boxed{2\ln(1+\sqrt x)+C_1~~~~(X>0)(C_1 :\text{cste})}\)

calcul de \(I_2=\int(2\cos\theta+3)^3\sin\theta d\theta\)

posons \(u_2=2\cos\theta+3\)

d'ou : \(du_2=-2\sin\theta d\theta\)

\(I_2=\int u_2^3(\frac{-du_2}2)=-\frac12\int u_2^3du_2=-\frac18u_2^4+C_2=-\frac18(2\cos\theta+3)^4+C_2~~(C_2/\text{cste})\)

L'intégration de \(I_3\) conduit à : \(\boxed{I_3=\frac16\ln(\frac{x^2}{x^2+3})+C}\)

posons \(x=\frac1t\) d'ou \(dx=-\frac1{t^2}dt.\) Par substitution dans \(I_3\)nous obtenons :

\(I_3=\int-\frac{dt}{t^2(\frac1{t^2}+3)\frac1t}=-\int\frac t{1+3t^2}dt=-\frac16\int\frac{6t}{1+3t^2}dt\)

\(I_3=-\frac16\ln(1+3t^2)+C=-\frac16\ln(1+3\times\frac1{x^2})+C\)

\(I_3=-\frac16\ln(\frac{x^2+3}{x^2})+C=\boxed{\frac16\ln(\frac{x^2}{x^2+3})+C}\)

posons \(u=\sqrt{2x-1},\)d'ou \(du=\frac{dx}{\sqrt{2x-1}}\Leftrightarrow dx=udu\)avec \(u^2=2x-1\Leftrightarrow x=\frac{u^2+1}2\)

Bornes d'intégration par ce changement de variable :

Pour \(\begin{array}{l l}x_1=1&u_1^2=2-1=1\Leftrightarrow u_1=1\\x_2=2&u_2^2=4-1=3\Leftrightarrow u_2=\sqrt3\end{array}\)

Et \(I_4=\int_1^2\sqrt{(2x-1)}(x+3)dx=\int_1^{\sqrt3}u(\frac{u^2+1}2+3)udu\)

\(=\frac12\int_1^{\sqrt3}(u^2+7)u^2du=\frac12\int_1^{\sqrt3}(u^4+7u^2)du\)

\(=\frac12[\frac{u^5}5+\frac{7u^3}3]_1^{\sqrt{3}}=\frac12[\frac{(\sqrt{3})^5}5+\frac{7(\sqrt{3})^3}{3}-(\frac15+\frac73)]\)

\(=\frac12[\frac{9\sqrt3}5+7\sqrt3-(\frac{3+35}{15})]=\boxed{\frac15(22\sqrt3-\frac{19}3)}\)

Après intégration, nous obtenons :

\(I_5=\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt{3}}2}x\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=-\int_{\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}\cos t(1+\cos t)dt=\boxed{\frac{\sqrt3-1}2+\frac{\pi}{12}}\)

posons \(x=\cos t,\) d'ou \(dx=-\sin tdt\)

bornes d'intégration :

\(x_1=\frac12=\cos t_1\Leftrightarrow t_1=\arccos(\frac12)=\frac{\pi}3\)

\(x_2=\frac{\sqrt3}2=\cos t_2\Leftrightarrow t_2=\arccos(\frac{\sqrt3}2)=\frac{\pi}6\)

et \(I_5=\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt{3}}2}x\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx=\int_{\frac{\pi}3}^{\frac{\pi}6}\cos t\sqrt{\frac{1+\cos t}{1-\cos t}}(-\sin t)dt\)

or \(\frac{1+\cos t}{1-\cos t}=\frac{(1+\cos t)^2}{(1-\cos t)(1+\cos t)}=\frac{(1+\cos t)^2}{1-\cos^2t}=\frac{(1+\cos t)^2}{\sin^2t}\)

\(I_5=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}(-\cos t+\cos^2 t)dt=[\sin t+\frac t2+\frac{\sin2t}4]_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\\=\sin\frac{\pi}3+\frac{\pi}6+\frac14\sin\frac{2\pi}3-(\sin\frac{\pi}6+\frac{\pi}{12}+\frac14\sin\frac{\pi}9)\\=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\pi}6+\frac14\frac{\sqrt3}2-(\frac12+\frac{\pi}{12}+\frac14\frac{\sqrt3}2)=\boxed{\frac{\sqrt3-1}2+\frac{\pi}{12}}\)