Intégration par parties
Partie
Question
Déterminer les primitives \(I=\int e^{-2x}\sin x dx\)par une successive.
Aide simple
Après deux intégrations successives on retrouve \(I.\)
Aide détaillée
Dans le calcul de \(\int udv,\) si on pose \(u(x)=e^{-2x}\)garder toujours cette fonction exponentielle pour\(u(x)\) dans la seconde intégration par parties.
Solution simple
On peut choisir pour la première intégration par partie :
\(\begin{array}{l l l}u=e^{-2x}&\Rightarrow&du=-2e^{-2x}dx\\dv=\sin x dx&\Rightarrow&v=-\cos x\end{array}\)
Après la seconde intégration par partie nous obtenons
\(I=-\frac15e^{-2x}(\cos x+2\sin x) +c\)
Solution détaillée
Pour la première intégration par parties :
\(\begin{array}{l l l}u=e^{-2x}&\Rightarrow&du=-2e^{-2x}dx\\dv=\sin x dx&\Rightarrow&v=-\cos x\end{array}\)
d'où : \(I=\int e^{-2x}\sin x dx=-e^{-2x}\cos x-2\int e^{-2x}\cos x dx\)
Une seconde intégration par parties conduit à :
\(\begin{array}{l l l}u=e^{-2x}&\Rightarrow&du=-2e^{-2x}dx\\dv=\cos x dx&\Rightarrow&v=\sin x\end{array}\)
d'où :
\(\int e^{-2x}\cos xdx=e^{-2x}\sin x +2\int e^{-2x}\sin x dx=e^{-2x}\sin x+2I\)
Et
\(I=e^{-2x}\cos x-2[e^{-2x}\sin x +2I]=-e^{-2x}(\cos x+2\sin x) - 4I\)
d'où
\(I=-\frac 13 e^{-2x}(\cos x+2\sin x)+c\)
Question
Retrouver les primitives \(I=\int e^{-2x}\sin xdx\)par une méthode d'identification.
Aide simple
Chercher les primitives sous la forme générale de la fonction à intégrer.
Aide détaillée
En posant \(I=e^{-2x}(\alpha \sin x+\beta\cos x)+c\) les primitives cherchées, déterminer les coefficients \(\alpha\) et \(\beta\) par identification de \(I'(x)=e^{-2x}\sin x\)
Solution simple
L'identification : \(I'(x)=e^{-2x}[(-2\alpha-\beta)\sin x+(\alpha-2\beta)\cos x]=e^{-2x}\sin x\)conduit au système :
\(\begin{cases}-2\alpha-\beta=1\\\alpha-2\beta=0\end{cases}\) d'où \(\begin{array}{c}\alpha=-\frac25\\\beta=-\frac15\end{array}\)
d'où :
\(I=-\frac15 e^{-2x} (\cos x+2\sin x) + c\)
Solution détaillée
Posons \(I=e^{-2x}(\alpha\sin x+\beta\cos x)+c\)les primitives cherchées, alors :
\(I'=-2e^{-2x}(\alpha\sin x +\beta\cos x)+e^{-2x}(\alpha\sin x-\beta\cos x)\\=e^{-2x}[(-2\alpha-\beta)\sin x+(\alpha-2\beta)\cos x]\)
d'où par identification :
\(I'(x)=e^{-2x}\sin x \Rightarrow\begin{cases}-2\alpha-\beta=1\\\alpha-2\beta=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\alpha=-2/5\\\beta=-1/5\end{cases}\)
donc :
\(I=-\frac15e^{-2x}(\cos x+2\sin x)+c\)
Question
Utiliser les relations d'EULER pour retrouver la fonction \(I\)
Aide simple
Transformer la fonction trigonométrique à l'aide d'une des relations d'EULER.
Aide détaillée
Sachant que \(\sin x = \frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}\) avec \(j^2=-1\)
Transformer l'expression à intégrer en produits de fonctions exponentielles.
Solution simple
D'après l'expression de d'une des relations d'EULER, la fonction à intégrer devient :
\(I=\int e^{-2x}\sin x dx=\int e^{-2x}(\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j})dx=\frac1{2j}\int(e^{(-2+j)x}-e^{-(2+j)x})dx\)
d'où après calcul : \(I=-\frac15e^{-2x}(\cos x+2\sin x)+c\)
Solution détaillée
Transformons la fonction à intégrer à l'aide de la relation d'EULER : \(\sin x = \frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}\)
d'où :
\(I=\int e^{-2x}\sin x dx=\frac1{2j}\int[e^{(-2j)x}-e^{-(2+j)x}]dx\\=\frac1{2j}[\frac1{-2+j}e^{(-2+j)x}-\frac1{-(2+j)}e^{-(2+j)x}]+c\\=\frac1{2j}[-\frac{(2+j)}{5}e^{jx}+\frac{2-j}{5}e^{-jx}]e^{-2x}+c\\=-\frac15e^{-2x}\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2}-\frac25e^{-2x}\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}+c\)
\(I=-\frac15e^{-2x}(\cos x+2\sin x)+c\)