L'intégrale simple

La longueur \(l\) d'un arc de courbe d'équation \(y = f(x)\) compris entre les points d'abscisse \(x = a\) et \(x = b\) est de la forme :

\(l=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}dx\) avec \(y'=-\frac{(a^{2/3}-x^{2/3})^{1/2}}{x^{1/3}}\)

d'où \(L=4l=4\int_{x=0}^{x=a}a^{1/3}x^{-1/3}dx=6a\)

Par définition, la longueur \(l\) d'un arc de courbe d'équation \(y = f(x)\) compris entre les points d'abscisse \(x = a\) et \(x = b\) est de la forme :

\(l=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}dx\)

La fonction \(y(x)\) admet pour fonction dérivée :

\(y'=\frac32(a^{2/3}-x^{2/3})^{1/2}(-\frac23x^{-1/3})=-\frac{(a^{2/3}-x^{2/3})^{1/2}}{x^{1/3}}\)

d'où pour l'arc de l'astroïde du 1er quadrant :

\(l=\int_0^a\sqrt{1+y'^2}dx=\int_0^a\sqrt{1+\frac{(a^{2/3}-x^{2/3})}{x^{2/3}}}dx=a^{1/3}\int_0^ax^{-1/3}dx=\frac32a\)

donc la longueur totale de l'astroïde sera \(L=4l=6a\)

Par définition de l'aire :

\(S=\int_0^ay(x)dx=\int_0^a(a^{2/3}-x^{2/3})^{3/2}dx=3a^2\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\sin^2\theta d\theta\)

En Posant \(x=a\sin^3\theta.\) Après linéarisation de : \(\cos^4\theta\sin^2\theta=\frac1{16}(1+\frac12\cos2\theta-\cos4\theta-\frac12\cos6\theta)\)

Nous trouvons : \(S=\frac3{32}\pi a^2\) pour le quart de l'aire de l'astroïde d'où \(S_T=4S=\frac38\pi a^2\)

L'aire délimitée par l'astroïde d'équation \(y=[a^{2/3}-x^{2/3}]^{3/2}\)dans le premier quadrant est : \(S=\int_0^ay(x)dx=\int_0^a(a^{2/3}-x^{2/3})^{3/2}dx\)

Posons \(x=a\sin^3\theta\Leftrightarrow dx=3a\sin^2\theta\cos\theta d\theta\)

et

\(S=\int_0^{\frac{\pi}{2}}[a^{2/3}(1-\sin^2\theta)]^{3/2}3a\sin^2\theta\cos\theta d\theta=3a^2\int_0^{\frac{\pi}2}\cos^4\theta\sin^2\theta d\theta\)

Par linéarisation de \(\cos^4\theta\sin^2\theta\)nous obtenons

\(\cos^4\theta\sin^2\theta=\cos^2\theta\cos^2\theta\sin^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}2\frac14\sin^22\theta=\frac14 \frac{1+\cos2\theta}2\frac{1-\cos4\theta}2\)

\(=\frac1{16}(1+\cos2\theta-\cos4\theta-\cos2\theta\cos4\theta)=\frac1{16}(1+\frac12\cos2\theta-\cos4\theta-\frac12\cos6\theta)\)

et

\(S=\frac{3a^2}{16}\int_0^{\frac{\pi}2}(1+\frac12\cos2\theta-\cos4\theta-\frac12\cos6\theta)d\theta=\frac{3a^2}{16}[\theta+\frac14\sin2\theta-\frac{\sin4\theta}4-\frac1{12}\sin6\theta]_0^{\frac{\pi}2}=\frac{3\pi a^2}{32}\)

pour la quart de l'astroïde , d'où la surface totale : \(S_T=4S=\frac{3\pi a^2}8\)

L'aire de la surface de révolution sera : \(S_T=2S\) avec

\(S=2\pi\int_0^ay\sqrt{1+y'^2}dx=2\pi \int_0^a(a^{2/3}-x^{2/3})^{3/2}x^{-1/3}a^{1/3} dx=\frac 65 \pi a^2\) aprés intégration

d'où \(S_T=2S=\frac{12\pi a^2}5\)

L'aire engendrée par l'arc de courbe du 1er quadrant autour de l'axe des abscisses sera : \(S=2\pi\int_0^ay\sqrt{1+y'^2}dx\)

Sachant que \(y=(a^{2/3}-x^{2/3})^{3/2}\) et \(y'=-\frac{(a^{2/3}-x^{2/3})^{1/2}}{x^{1/3}}\)

nous obtenons pour \(\sqrt{1+y'^2}=\frac{a^{1/3}}{x^{1/3}}\)

d'où \(S=2\pi\int_0^a(a^{2/3}-x^{2/3})^{3/2}x^{-1/3}a^{1/3}dx\):

Intégrons en posant \(x=a\sin^3\alpha\Leftrightarrow dx=3a\sin^2\alpha \cos\alpha d \alpha\)

Alors : \((a^{2/3}-x^{2/3})^{3/2}x^{-1/3}a^{1/3}=3a^2\cos^4\alpha \sin\alpha\)

Et \(S=2\pi\int_0^{\pi/2}3a^2\cos^4\alpha \sin\alpha d\alpha\)

Aprés intégration, \(S=2\pi \times3a^2[-\frac{\cos^5\alpha}5]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac65\pi a^2\)

D'où pour la surface totale de révolution : \(S_T=2S=\frac{12\pi a^2}5\)

Le volume engendré par la surface de l'astroïde située dans le premier quadrant en rotation autour de \(Ox\) sera :

\(V=\int_0^a\pi y^2dx=\int_0^a\pi(a^{2/3}-x^{2/3})^3dx=\frac{16}{105}\pi a ^3\)

D'où le volume total : \(V_T=2V=\frac{32\pi}{105}a^3\)

Le volume engendré par l'astroïde en rotation autour de \(Ox\) sera : \(V_T=2V\) avec

\(V=\int_0^a\pi y^2dx=\pi\int_0^a(a^{2/3}-x^{2/3})^3dx=\pi\int_0^a(a^2-3a^{4/3}x^{2/3}+3a^{2/3}x^{4/3}-x^2)dx\)

\(=\pi[a^2x-\frac95a^{4/3}x^{5/3}+\frac97a^{2/3}x^{7/3}-\frac13x^3]_0^a=\pi[a^3-\frac95a^3+\frac97a^3-\frac13a^3]=\frac{16\pi}{105}a^3\)

d'où le volume total :\(V_T=2V=\frac{32\pi}{105}a^3\)