Intégration des fractions rationnelles
Partie
Question
Calculer l'intégrale :\(I_1=\int_2^3\frac{x^2}{(x-1)(x+2)(x+1)}dx\) sachant
Que la fraction rationnelle peut se mettre peut se mettre sous la forme .
\(\frac{x^2}{(x-1)(x+2)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac C{x+1}\) avec \(x\in\mathbb R-\{-2 ;-1 ;1\}\)
Aide simple
Déterminer les coefficients \(A,\) \(B\) et \(C\) de la décomposition
Aide détaillée
Une méthode consiste à réduire au même dénominateur à droite de l'égalité et à identifier
Les coefficients des différentes puissances de \(x .\)
Solution simple
Après réduction au même dénominateur et identification nous trouvons :
\(F(x)=\frac{x^2}{(x-1)(x+2)(x+1)}=\frac{\frac16}{x-1}+\frac{\frac43}{x+2}-\frac{\frac12}{x+1}\)
et après intégration :
\(\int F(x)dx=\frac16\ln|x-1|+\frac43\ln|x+2|-\frac12\ln|x+1|+C\)
D'ou \(\boxed{I_1=-\frac72\ln 2+\frac12\ln 3+\frac43\ln5}\)
Solution détaillée
Calculons les coefficients de la décomposition de :
\(F(x)=\frac{x^2}{(x-1)(x+2)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac C{x+1}\)
Réduisons au même dénominateur \((x-1) (x+2) (x+1)\)
\(F(x)=\frac{x^2}{(x-1)(x+2)(x+1)}=\frac{A(x+2)(x+1)+B(x-1)(x+1)+C(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)(x+1)}\)
\(=\frac{x^2(A+B+C)+x(BA+C)+2A-B-2C}{(x-1)(x+2)(x+1)}\)
par identification :
\(\begin{cases}A+B+C=1\\3A+C=0\\2A-B-2C=0\end{cases}\begin{cases}C=-3A\\B=8A\end{cases}\begin{cases}A+8A-3A=6A=1\end{cases}\)
d'ou : \(A=\frac16\) ; \(B=\frac43\) ; \(C=-\frac12\)
et \(F(x)=\frac1{6(x-1)}+\frac4{3(x+2)}-\frac1{2(x+1)}\)
L'intégration conduisant à :
\(I_1=\int_2^3F(x)dx=\frac16\int_2^3\frac{dx}{x-1}+\frac43\int_2^3\frac{dx}{x+2}-\frac12\int_2^3\frac{dx}{x+1}\\=[\frac16\ln|x-1|+\frac43\ln|x+2|-\frac12\ln|x+1|]_2^3\\=(\frac16\ln 2+\frac43\ln 5-\frac12\ln 4)-(\frac16\ln 1+\frac43\ln 4-\frac12\ln 3)\\=(\frac16\ln 2+\frac43\ln 5-\ln 2) - (\frac83\ln 2-\frac13\ln 3)\\\boxed{I_1=-\frac72\ln 2+\frac12\ln 3+\frac43\ln 5}\)
Question
Déterminer les primitives \(I_2=\int\frac{dx}{(x+1)^2(x-2)}.\) On cherchera à décomposer la fraction
Rationnelle sous la forme :
\(\frac{1}{(x+1)^2(x-2)}=\frac A{(x+1)^2}+\frac B{(x+1)}+\frac C{(x-2)}\)avec \(x\in\mathbb R-\{-1 ;2\}\)
Aide simple
Déterminer les coefficients \(A,\) \(B\) et \(C\) de la décomposition
Aide détaillée
Réduire au même dénominateur à droite de l'égalité et identifier les coefficients des différentes puissances de \(x.\)
Solution simple
Après réduction au même dénominateur et identification nous avons :
\(\frac{1}{(x+1)^2(x-2)} = -\frac1{3(x+1)^2}-\frac1{9(x+1)}+\frac1{9(x-2)}\)
d'où
\(\boxed{I_2=\int\frac{dx}{(x+1)^2(x-2)}=\frac13\frac1{(x+1)}+\frac19\ln|\frac{x-2}{x+1}|+C}\)
Solution détaillée
Calcul des coefficients de la décomposition de :
\(\frac{1}{(x+1)^2(x-2)}=\frac A{(x+1)^2}+\frac B{(x+1)}+\frac C{(x-2)}\)
\(=\frac{A(x-2)+B(x+1)(x-2)+C(x+1)^2}{(x+1)^2(x-2)}\)
\(=\frac{x^2(A+C) + x(A-B+2C) + (-2A-2B+C)}{(x+1)^2(x-2)}\)
Par identification :
\(\begin{cases}B+C=0\\A-B+2C=0\end{cases}\begin{cases}C=-B\\A=3B\end{cases}\begin{cases}-6B-2B-B=-9B=1\end{cases}\)
D'ou : \(A=-\frac13\) ; \(B=-\frac19\) ; \(C=+\frac19\)
Et \(\frac{1}{(x+1)^2(x-2)}=\frac {-1}{3(x+1)^2}-\frac 1{9(x+1)}+\frac 1{9(x-2)}\)
Donc :
\(I_2=\int\frac{dx}{(x+1)^2(x-2)}=-\frac13\int\frac{dx}{(x+1)^2}-\frac19\int\frac{dx}{(x+1)}+\frac19\int\frac{dx}{(x-2)}\)
\(=\frac13\frac1{(x+1)}-\frac19\ln|x+1|+\frac19\ln|x-2|+C\)
\(\boxed{I_2=\frac13\frac1{(x+1)}+\frac19\ln|\frac{x-2}{x+1}|+C}\)
Question
La fraction rationnelle : \(F(x)=\frac{3-4x^2}{2(1-x^2)}\)
Montrer que \(F(x)\) peut se décomposer sous la forme :
\(F(x)=A+\frac B{1-x}+\frac C{1+x}\)ou \(A,\) \(B\) et \(C\) sont des constante à déterminer et où \(x\in\mathbb R -\{-1 ;1\}\)
En déduire l'intégrale : \(I_4=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\frac{\sin 3x}{\sin 2x}dx\)
Aide simple
Réduire au même dénominateur et déterminer \(A,\) \(B\) et \(C\) par identification .
Intégration de trois fonctions .
Transformer cette expression en fonction de \(\sin x=t\)
Aide détaillée
Après réduction au même dénominateur : \(F(x)=\frac{-Ax^2+(B-C)x+A+B+C}{1-x^2}\)
le calcul de \(I_3,\)fait intervenir des primitives de la forme : \(\int\frac{dx}{a+x}~~(a : \text{cste})\)
Utiliser les transformations : \(\begin{array}{l}\sin 3x = 3\sin x-4\sin^3x\\\sin 2x=2\sin x\cos x\end{array}\)
Solution simple
L'identification conduit à : \(F(x)=2-\frac14(\frac1{1-x}+\frac1{1+x})\)
Expression de la primitive : \(I_3=2x+\frac14\ln|\frac{1-x}{1+x}|+C\)
Résultat de l' intégrale :
\(I_4=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\frac{\sin 3x}{\sin 2x}dx=\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt3}2}\frac{3-4t^2}{2(1-t^2)}dt=\sqrt3-1-\frac14(\ln\frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}+\ln 3)\)
Solution détaillée
Réduisons au même dénominateur et déterminons les coefficients \(A,\) \(B\) et \(C\)
Par identification :
\(F(x)=\frac{3-4x^2}{2(1-x^2)}=A+\frac B{1+x}+\frac C{1+x}=\frac{A(1-x^2)+B(1+x) + C(1-x)}{1-x^2}\)
\(=\frac{-Ax^2+(B-C)x+A+B+C}{1-x^2}\)
d'ou : \(\begin{cases}-A=-\frac42\Leftrightarrow A=2\\B-C=0\Leftrightarrow B=C\\A+B+C=\frac32\Leftrightarrow B+C=\frac32-2-\frac14\end{cases}\begin{cases}A=2\\B=\frac14\\C=\frac14\end{cases}\)
Et \(\boxed{F(x)=2-\frac14(\frac1{1-x}+\frac1{1+x})}\)
Calcul d'une primitive : \(I_3=\int F(x) dx\)
\(I_3=\int 2dx-\frac14\int\frac{dx}{1-x}-\frac14\int \frac{dx}{1+x}=2x+\frac14\ln|1-x|-\frac14\ln|1+x|+C\)
\(\boxed{I_3=2x+\frac14\ln|\frac{1-x}{1+x}|+C}\)
Utilisons les formules trigonométriques suivantes :
\(\begin{array}{l}\sin 3x = 3\sin x-4\sin^3x\\\sin 2x=2\sin x\cos x\end{array}\)
et portons ces expressions dans \(I_4\):
\(I_4=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\frac{\sin 3x}{\sin 2x}dx=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\frac{3\sin x-4\sin^3x}{2\sin x \cos x}dx=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\frac{3-4\sin^2x}{2\cos x}dx\)
\(=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\frac{3-4\sin^2x}{2\cos^2x}\cos xdx=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\frac{3\sin x -4\sin^2x}{2(1-\sin^2x)}\cos x dx\)
\((t=\sin{x})\)
\(=\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt3}2}\frac{3-4t^2}{2(1-t^2)}dt=[2t+\frac14\ln|\frac{1-t}{1+t}|]_{\frac12}^{\frac{\sqrt3}2}\)
\(=[\frac{2\sqrt3}2-\frac14\ln\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{1+\frac{\sqrt3}{2}}-(2\frac12-\frac14\ln\frac{1-\frac12}{1+\frac12})]\)
\(\boxed{I_4=\sqrt3-1-\frac14(\ln\frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}+\ln 3)}\)
Question
On donne la fraction rationnelle \(G(x)= \frac{x^6-9x^2-3}{x^4-3x^2-4}\)avec \(x\in\mathbb R-\{-2 ;2\}\)
calculer une primitive : \(I(x)=\int G(x)dx\)
Aide simple
Faire la division euclidienne pour trouver \(G(x)\)sous la forme :\(G(x)=P(x)+\frac{N(x)}{D(x)}~~~~(d^\circ N(n) < d^\circ D(x))\)
Aide détaillée
L'intégrale de \(G(x)=x^2+3+\frac{4x^2+9}{x^4-3x^2-4}\)s'effectue après décomposition de la fraction rationnelle \(\frac{4x^2+9}{x^4-3x^2-4}\)dans \(\mathbb R,\) sachant que : \(x^4-3x^2-4=(x^2+1)(x-2)(x+2)\)
Solution simple
Par division euclidienne nous obtenons :
\(\frac{x^6-9x^2-3}{x^4-3x^2-4} = x^2+3 + \frac{4x^2+9}{x^4-3x^2-4}\)
Décomposition de la fraction rationnelle \(\frac{N(x)}{D(x)}\)
\(\frac{4x^2+9}{x^4-3x^2-4}=\frac{-1}{x^2+1}+\frac54\frac1{x-2}-\frac54\frac1{x+2}\)
Expression de la primitive \(I(x)\) :
\(\boxed{I(x)=\frac{x^3}3+3x-\arctan x +\frac54\ln|\frac{x-2}{x+2}|+C}\)
Solution détaillée
Exprimons la division euclidienne de \((x^6-9x^2-3)\) par \((x^4-3x^2-4)\)
\(\begin{array}{c | c}\begin{array}{c}x^6-9x^2-3\\-x^6+3x^4+4x^4\\\hline\end{array} & \begin{array}{c}x^4-3x^2-4\\\hline x^2+3\end{array}\\\begin{array}{c}+3x^4-5x^2-3\\-3x^4+9x^2+12\\\hline\end{array}&\\+4x^2+9&\end{array}\)
D'ou : \(G(x)=x^2+3+\frac{4x^2+9}{x^4-3x^2-4}\)
Décomposition de la fraction rationnelle \(\frac{N(x)}{D(x)}.\)
\(\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{4x^2+9}{x^4-3x^2-4}=\frac{4x^2+9}{(x^2+1)(x-2)(x+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x-2}+\frac{D}{x+2}\)
\(=\frac{(Ax+B)(x^2-4)+C(x^2+1)(x+2)+D(x^2+1)(x-2)}{(x^2+1)(x-2)(x+2)}\)
\(=\frac{(A+C+D)x^3+(B+2C-2D)x^2+(-4A+C+D)x+(-4B+2C-2D)}{(x^2+1)(x-2)(x+2)}\)
Par identification des coefficients des puissances de \(x,\) nous avons :
\(\begin{cases}A+C+D=0\\-4A+C+D=0 \\B+2C-2D=4\\-4B+2C-2D=9\end{cases}\begin{cases}A=0\text{ et }C=-D\\5B=-5\rightarrow B=-1\end{cases}~~2C-2D=4C=5\rightarrow C=\frac54\)
d'où : \(A= 0\); \(B=-1\); \(C=\frac54\);\(D=\frac{-5}4\)
et \(\boxed{\frac{4x^2+9}{x^2+3x^2-4}=\frac{-1}{x^2+1}+\frac54\frac1{x-2}-\frac54\frac1{x+2}}\)
Détermination de \(I(x) =\int G(x) dx\)
\(I(x)=\int(x^2+3-\frac1{x^2+1}+\frac54\frac1{x-2}-\frac54\frac1{x+2})dx\)
\(=\int x^2dx+\int 3dx+\int\frac{-dx}{x^2+1}+\int\frac54\frac1{x-2}dx+\int\frac{-5}4\frac1{x+2}dx\)
\(=\int \frac{x^3}3+3x-\arctan x+\frac54\ln|x-2|-\frac54\ln|x+2|+C\)
\(\boxed{I(x)=\frac{x^3}3+3x-\arctan x +\frac54\ln|\frac{x-2}{x+2}|+C}\)