L'intégrale simple

Après réduction au même dénominateur et identification nous trouvons :

\(F(x)=\frac{x^2}{(x-1)(x+2)(x+1)}=\frac{\frac16}{x-1}+\frac{\frac43}{x+2}-\frac{\frac12}{x+1}\)

et après intégration :

\(\int F(x)dx=\frac16\ln|x-1|+\frac43\ln|x+2|-\frac12\ln|x+1|+C\)

D'ou \(\boxed{I_1=-\frac72\ln 2+\frac12\ln 3+\frac43\ln5}\)

Calculons les coefficients de la décomposition de :

\(F(x)=\frac{x^2}{(x-1)(x+2)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac C{x+1}\)

Réduisons au même dénominateur \((x-1) (x+2) (x+1)\)

\(F(x)=\frac{x^2}{(x-1)(x+2)(x+1)}=\frac{A(x+2)(x+1)+B(x-1)(x+1)+C(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)(x+1)}\)

\(=\frac{x^2(A+B+C)+x(BA+C)+2A-B-2C}{(x-1)(x+2)(x+1)}\)

par identification :

\(\begin{cases}A+B+C=1\\3A+C=0\\2A-B-2C=0\end{cases}\begin{cases}C=-3A\\B=8A\end{cases}\begin{cases}A+8A-3A=6A=1\end{cases}\)

d'ou : \(A=\frac16\) ; \(B=\frac43\) ; \(C=-\frac12\)

et \(F(x)=\frac1{6(x-1)}+\frac4{3(x+2)}-\frac1{2(x+1)}\)

L'intégration conduisant à :

\(I_1=\int_2^3F(x)dx=\frac16\int_2^3\frac{dx}{x-1}+\frac43\int_2^3\frac{dx}{x+2}-\frac12\int_2^3\frac{dx}{x+1}\\=[\frac16\ln|x-1|+\frac43\ln|x+2|-\frac12\ln|x+1|]_2^3\\=(\frac16\ln 2+\frac43\ln 5-\frac12\ln 4)-(\frac16\ln 1+\frac43\ln 4-\frac12\ln 3)\\=(\frac16\ln 2+\frac43\ln 5-\ln 2) - (\frac83\ln 2-\frac13\ln 3)\\\boxed{I_1=-\frac72\ln 2+\frac12\ln 3+\frac43\ln 5}\)

Après réduction au même dénominateur et identification nous avons :

\(\frac{1}{(x+1)^2(x-2)} = -\frac1{3(x+1)^2}-\frac1{9(x+1)}+\frac1{9(x-2)}\)

d'où

\(\boxed{I_2=\int\frac{dx}{(x+1)^2(x-2)}=\frac13\frac1{(x+1)}+\frac19\ln|\frac{x-2}{x+1}|+C}\)

Calcul des coefficients de la décomposition de :

\(\frac{1}{(x+1)^2(x-2)}=\frac A{(x+1)^2}+\frac B{(x+1)}+\frac C{(x-2)}\)

\(=\frac{A(x-2)+B(x+1)(x-2)+C(x+1)^2}{(x+1)^2(x-2)}\)

\(=\frac{x^2(A+C) + x(A-B+2C) + (-2A-2B+C)}{(x+1)^2(x-2)}\)

Par identification :

\(\begin{cases}B+C=0\\A-B+2C=0\end{cases}\begin{cases}C=-B\\A=3B\end{cases}\begin{cases}-6B-2B-B=-9B=1\end{cases}\)

D'ou : \(A=-\frac13\) ; \(B=-\frac19\) ; \(C=+\frac19\)

Et \(\frac{1}{(x+1)^2(x-2)}=\frac {-1}{3(x+1)^2}-\frac 1{9(x+1)}+\frac 1{9(x-2)}\)

Donc :

\(I_2=\int\frac{dx}{(x+1)^2(x-2)}=-\frac13\int\frac{dx}{(x+1)^2}-\frac19\int\frac{dx}{(x+1)}+\frac19\int\frac{dx}{(x-2)}\)

\(=\frac13\frac1{(x+1)}-\frac19\ln|x+1|+\frac19\ln|x-2|+C\)

\(\boxed{I_2=\frac13\frac1{(x+1)}+\frac19\ln|\frac{x-2}{x+1}|+C}\)

1. L'identification conduit à : \(F(x)=2-\frac14(\frac1{1-x}+\frac1{1+x})\)

2. Expression de la primitive : \(I_3=2x+\frac14\ln|\frac{1-x}{1+x}|+C\)

3. Résultat de l' intégrale :

   \(I_4=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\frac{\sin 3x}{\sin 2x}dx=\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt3}2}\frac{3-4t^2}{2(1-t^2)}dt=\sqrt3-1-\frac14(\ln\frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}+\ln 3)\)

1. Réduisons au même dénominateur et déterminons les coefficients \(A,\) \(B\) et \(C\)

   Par identification :

   \(F(x)=\frac{3-4x^2}{2(1-x^2)}=A+\frac B{1+x}+\frac C{1+x}=\frac{A(1-x^2)+B(1+x) + C(1-x)}{1-x^2}\)

   \(=\frac{-Ax^2+(B-C)x+A+B+C}{1-x^2}\)

   d'ou : \(\begin{cases}-A=-\frac42\Leftrightarrow A=2\\B-C=0\Leftrightarrow B=C\\A+B+C=\frac32\Leftrightarrow B+C=\frac32-2-\frac14\end{cases}\begin{cases}A=2\\B=\frac14\\C=\frac14\end{cases}\)

   Et \(\boxed{F(x)=2-\frac14(\frac1{1-x}+\frac1{1+x})}\)

2. Calcul d'une primitive : \(I_3=\int F(x) dx\)

   \(I_3=\int 2dx-\frac14\int\frac{dx}{1-x}-\frac14\int \frac{dx}{1+x}=2x+\frac14\ln|1-x|-\frac14\ln|1+x|+C\)

   \(\boxed{I_3=2x+\frac14\ln|\frac{1-x}{1+x}|+C}\)

3. Utilisons les formules trigonométriques suivantes :

   \(\begin{array}{l}\sin 3x = 3\sin x-4\sin^3x\\\sin 2x=2\sin x\cos x\end{array}\)

   et portons ces expressions dans \(I_4\):

   \(I_4=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\frac{\sin 3x}{\sin 2x}dx=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\frac{3\sin x-4\sin^3x}{2\sin x \cos x}dx=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\frac{3-4\sin^2x}{2\cos x}dx\)

   \(=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\frac{3-4\sin^2x}{2\cos^2x}\cos xdx=\int_{\frac{\pi}6}^{\frac{\pi}3}\frac{3\sin x -4\sin^2x}{2(1-\sin^2x)}\cos x dx\)

   \((t=\sin{x})\)

   \(=\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt3}2}\frac{3-4t^2}{2(1-t^2)}dt=[2t+\frac14\ln|\frac{1-t}{1+t}|]_{\frac12}^{\frac{\sqrt3}2}\)

   \(=[\frac{2\sqrt3}2-\frac14\ln\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{1+\frac{\sqrt3}{2}}-(2\frac12-\frac14\ln\frac{1-\frac12}{1+\frac12})]\)

   \(\boxed{I_4=\sqrt3-1-\frac14(\ln\frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}+\ln 3)}\)

Par division euclidienne nous obtenons :

\(\frac{x^6-9x^2-3}{x^4-3x^2-4} = x^2+3 + \frac{4x^2+9}{x^4-3x^2-4}\)

Décomposition de la fraction rationnelle \(\frac{N(x)}{D(x)}\)

\(\frac{4x^2+9}{x^4-3x^2-4}=\frac{-1}{x^2+1}+\frac54\frac1{x-2}-\frac54\frac1{x+2}\)

Expression de la primitive \(I(x)\) :

\(\boxed{I(x)=\frac{x^3}3+3x-\arctan x +\frac54\ln|\frac{x-2}{x+2}|+C}\)

Exprimons la division euclidienne de \((x^6-9x^2-3)\) par \((x^4-3x^2-4)\)

\(\begin{array}{c | c}\begin{array}{c}x^6-9x^2-3\\-x^6+3x^4+4x^4\\\hline\end{array} & \begin{array}{c}x^4-3x^2-4\\\hline x^2+3\end{array}\\\begin{array}{c}+3x^4-5x^2-3\\-3x^4+9x^2+12\\\hline\end{array}&\\+4x^2+9&\end{array}\)

D'ou : \(G(x)=x^2+3+\frac{4x^2+9}{x^4-3x^2-4}\)

Décomposition de la fraction rationnelle \(\frac{N(x)}{D(x)}.\)

\(\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{4x^2+9}{x^4-3x^2-4}=\frac{4x^2+9}{(x^2+1)(x-2)(x+2)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x-2}+\frac{D}{x+2}\)

\(=\frac{(Ax+B)(x^2-4)+C(x^2+1)(x+2)+D(x^2+1)(x-2)}{(x^2+1)(x-2)(x+2)}\)

\(=\frac{(A+C+D)x^3+(B+2C-2D)x^2+(-4A+C+D)x+(-4B+2C-2D)}{(x^2+1)(x-2)(x+2)}\)

Par identification des coefficients des puissances de \(x,\) nous avons :

\(\begin{cases}A+C+D=0\\-4A+C+D=0 \\B+2C-2D=4\\-4B+2C-2D=9\end{cases}\begin{cases}A=0\text{ et }C=-D\\5B=-5\rightarrow B=-1\end{cases}~~2C-2D=4C=5\rightarrow C=\frac54\)

d'où : \(A= 0\); \(B=-1\); \(C=\frac54\);\(D=\frac{-5}4\)

et \(\boxed{\frac{4x^2+9}{x^2+3x^2-4}=\frac{-1}{x^2+1}+\frac54\frac1{x-2}-\frac54\frac1{x+2}}\)

Détermination de \(I(x) =\int G(x) dx\)

\(I(x)=\int(x^2+3-\frac1{x^2+1}+\frac54\frac1{x-2}-\frac54\frac1{x+2})dx\)

\(=\int x^2dx+\int 3dx+\int\frac{-dx}{x^2+1}+\int\frac54\frac1{x-2}dx+\int\frac{-5}4\frac1{x+2}dx\)

\(=\int \frac{x^3}3+3x-\arctan x+\frac54\ln|x-2|-\frac54\ln|x+2|+C\)

\(\boxed{I(x)=\frac{x^3}3+3x-\arctan x +\frac54\ln|\frac{x-2}{x+2}|+C}\)