L'intégrale simple

Après intégration :

\(\begin{array}{|c|}\hline\color{blue}I_0=x+K_1\\\hline\color{blue}I_1=\ln|\tan\frac x2|+K_2\\\hline\color{blue}I_2=-\text{cotan }(x)+K_3\\\hline\end{array}\)

\(( K_1,\) \(K_2\) et \(K_3\) sont des constantes)

Calculons les primitives\(I_n=\int\frac{dx}{(\sin x)^n}\) pour :

• \(n = 0\) :

  \(\color{blue}I_0\color{black}=\int dx=\color{blue}x+K_1\)

  \(K_1\) est une constante

• \(n = 1\) : \(I_1=\int\frac{dx}{\sin x}\)

  si le changement de variable \(t = \cos x\)

  \(dt=-\sin xdx\) et \(I_1=\int\frac{dt}{t^2-1}\)

  or par décomposition de la fraction rationnelle : \(\frac1{t^2-1}=\frac12(\frac1{t-1}-\frac1{t+1})\)

  \(I_1=\frac12(\int\frac{dt}{t-1}-\int\frac{dt}{t+1})=\frac12\ln\frac{t-1}{t+1}+C\)

  \(\boxed{\color{blue}I_1\color{black}=\frac12\ln|\frac{\cos x-1}{\cos x+1}|+C=\color{blue}\ln|\tan \frac x2|+C}\)

  si le changement de variable \(t = \tan (x / 2)\)

  alors \(x = \arctan t\) et \(dx = 2dt / 1 + t^2\) sachant que \(\sin x = 2t / (1 + t^2),\) il s'ensuit que :

  \(I_1=\int\frac{dt}t=\ln|t|+C\)

  \(\boxed{\color{blue}I_1=\ln|\tan\frac x2|+C}\)

• \(n = 2\)

  \(\color{blue}I_2\color{black}=\int\frac{dx}{(\sin x)^2}=\color{blue}-\text{cotan }x+C\)

  ( la dérivation de la fonction \(\text{cotan }x\) se calcule à partir du quotient \((\frac{\cos x}{\sin x})'=-\frac1{\sin^2x})\)

Pour \(n = 2,\) la relation conduit bien à : \(I_2 = - \text{cotan }x + C\)

Pour \(n > 2\) \(I_n=I_{n-2}+\int\frac{\cos^2x}{(\sin x)^n}dx\)

où \(\color{blue}\int\frac{\cos^2x}{(\sin x)^n}dx=-\frac1{n-1}\frac{\cos x}{\sin^{n-1}x}-\frac1{n-1}I_{n-2}\)(intégration par parties)

et la relation de récurrence est vérifiée.

Pour \(n = 2\)

\(I_2=\frac{2-2}{2-1}I_{2-2}-\frac{\cos x}{(2-1)\sin^{2-1}x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\text{cotan }x\)

(à une constante près)

Pour \(n > 2\)

Transformons \(\frac1{(\sin x)^n}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^nx}=\frac1{\sin^{n-2}x}+\frac{\cos^2x}{\sin^nx}\)d'où

\(I_n=\frac{dx}{\sin^nx}=\frac{dx}{\sin^{n-2}x}+\int\frac{\cos^2x}{\sin^nx}dx=I_{n-2}+J\)

Calcul de l'intégrale \(J\) par parties en posant :

\(\color{blue}\begin{array}{l l}u=\cos x&du=-\sin xdx\\dv=\frac{\cos x}{\sin^nx}dx&v=-\frac1{(n-1)}\frac1{\sin^{n-1}x}\end{array}\)

\(J=-\frac1{n-1}\frac{\cos x}{\sin^{n-1}x}-\frac1{n-1}I_{n-2}\)

\(\boxed{\color{blue}I_n\color{black}=I_{n-2}+J=\color{blue}\frac{n-2}{n-1}I_{n-2}-\frac{\cos x}{(n-1)\sin^{n-1}x}\color{black}~~~~(n\geq2)}\)

Le calcul conduit à : \(K = 4 / 3 .\)

Le calcul de \(K=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin^4x}\)exige la connaissance de la primitive de \(I_n\) pour \(n = 4\) :

\(I_4=\int\frac1{\sin^4x}dx=\frac{4-2}{4-1}I_{4-2}-\frac{\cos x}{(4-1)\sin^{4-1}x}\)

\(I_4=\frac23I_2-\frac{\cos x}{3\sin^3x}=-\frac23\text{cotan }x-\frac13\frac{\cos x}{\sin^3x}\)

d'où

\(K=[I_4]_{\pi/4}^{\pi/2}=-\frac13[2\text{cotan }x+\frac{\cos x}{\sin^3x}]_{\pi/4}^{\pi/2}\)

\(=-\frac13[-2\times 1-\frac{\sqrt2/2}{(\sqrt2/2)^3}]\)

\(\boxed{\color{blue}K\color{black}=-\frac13[-2\times1-\frac{1/\sqrt2}{(1/\sqrt2)^3}]=\color{blue}\frac43}\)