L'intégrale simple

En posant \(t=\cosh x,\) nous obtenons l'intégration de la fonction rationnelle en \(t\) suivante :

\(I=\int\frac{dt}{t^2(t^2-1)}=\int(\frac{-1}{t^2}+\frac12(\frac1{t-1}-\frac1{t+1})dt)\)

( après décomposition de la fraction rationnelle en éléments simples )

Après intégration :

\(I=\frac1{\cosh x}+\frac12\ln|\frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1}|+c\)

avec \(\frac12\ln|\frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1}|=\ln|\tanh\frac x2|\)

Posons \(t=\cosh x\) car \(\omega(-x) = \omega(x)\) d'où \(dt=\sinh x dx\)

et \(I=\int\frac{dx}{\sinh x\cosh^2x}=\int\frac{\sinh xdx}{\sinh^2x\cosh^2x}\)

alors \(I=\int\frac{dt}{t^2(t-1)(t+1)}\)

Nous obtenons, après décomposition en élément simples de première espèce, les fractions suivantes :

\(F(t)=\frac1{t^2(t-1)}=\frac1{t^2(t-1)(t+1)}=\frac A{t^2}+\frac Bt+\frac C{(t-1)}+\frac D{t+1}=\frac{-1}{t^2}+\frac12(\frac1{t-1}-\frac1{t+1})\)

avec les calculs des coefficients :

\(A=\lim_{t\rightarrow0}t^2F(t)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac1{t^2-1}=-1\)

\(C=\lim_{t\rightarrow1}(t-1)F(t)=\lim_{t\rightarrow1}\frac1{t^2(t+1)}=\frac12\)

\(D=\lim_{t\rightarrow-1}(t+1)F(t)=\lim_{t\rightarrow-1}\frac1{t^2(t-1)}=-\frac12\)

\(\lim_{t\rightarrow+\infty}tF(t)=\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac1{t(t^2-1)}=0=B+C+D=B+\frac12-\frac12\Rightarrow B= 0\)

Par intégration de \(F(t)\):

\(\int F(t)dt=\int -\frac1{t^2}dt+\frac12\int\frac{dt}{t-1}-\frac12\int\frac{dt}{t+1}=\frac 1t+\frac12\ln|t+1|-\frac12\ln|t+1|+c\\=\frac1t+\frac12\ln|\frac{t-1}{t+1}|+c\)

et \(\int\frac{dx}{\sinh x\cosh^2 x}=\frac1{\cosh x}+\frac12\ln|\frac{\cosh x - 1}{\cosh x +1}|+c=\frac1{\cosh x}+\ln|\tanh \frac x2|+c\)

car \(\cosh x - 1 =2\sinh^2 \frac x2\) et \(\cosh x+1=2\cosh^2\frac x2\)

d'où \(\frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1}=\frac{2\sinh^2\frac x2}{2\cosh^2\frac x2}=\tanh^2\frac x2\) et \(\frac12\ln\tanh^2\frac x2=\ln|\tanh \frac x2|\)

Par ce changement de variable nous obtenons :

\(I=\int\frac{dx}{\sinh x \cosh^2x}=\int\frac{(1-t^2)^2}{t(1+t^2)^2}dt=-4\int\frac{tdt}{(1+t^2)^2}+\int\frac{dt}t\\=\frac2{1+\tanh^2\frac x2}+\ln|\tanh \frac x2|+c\)

Posons

\(t=\tanh \frac x2~~\textrm{ d'où }~~x=2\text{argtanh }t~~\textrm{ et }~~dx=\frac{2dt}{1-t^2}\\\text{avec}~~\sinh x =\frac{2t}{1-t^2}\textrm~~{ et }~~\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\)

d'où \(\int\frac{dx}{\sinh x\cosh^2x}=\int\frac{2dt}{(1-t^2)\frac{2t(1+t^2)^2}{(1-t^2)(1-t^2)^2}}=\int\frac{(1-t^2)^2}{t(1+t^2)^2}dt\)

Décomposition de le fraction relationnelle en éléments simples de première et deuxième espèce.

\(F(t)=\frac{(1-t^2)^2}{t(1+t^2)^2}=\frac{At+B}{(1+t^2)^2}+\frac{Ct+D}{(1+t^2)^2}+\frac Et=\frac{-4t}{(1+t^2)^2}+\frac 1t\)

avec les valeurs des coefficients :

\(E=\lim_{t\rightarrow0}tF(t)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}=1\)

\(Aj+B=\lim_{t\rightarrow j}(1+t^2)^2F(t)=\lim_{t\rightarrow j}\frac{(1-t^2)^2}t=\frac 4j=-4j\Rightarrow A =-4\text{ et }B=0\)

\(\lim_{t\rightarrow\infty}tF(t)=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{(-t^2)^2}{(t^2)^2}=1=C+E=C+1\Rightarrow C = 0\)

Pour \(t= 1\Rightarrow0=\frac{A+B}4+\frac D2 + E\Rightarrow D= 1+\frac D2-\frac 44\Rightarrow D = 0\)

Par intégration de cette fonction nous obtenons :

\(I=\int\frac{(1-t^2)^2}{t(1+t^2)^2}=-4\int\frac{tdt}{(1+t^2)^2}+\int\frac 1tdt=\frac2{1+t^2}+\ln|t|=\frac2{1+\tanh^2\frac x2}+\ln|\tanh\frac x2|+c\)

or \(\frac1{\cosh x}=\frac{\cosh^2\frac x2-\sinh^2\frac x2}{\cosh^2\frac x2+\sinh^2\frac x2}=\frac{1-\tanh^2\frac x2}{1+\tanh^2\frac x2}=\frac{1-\tanh^2\frac x2-2+2}{1+\tanh^2\frac x2}=\frac{-1-\tanh^2\frac x2+2}{1+\tanh^2\frac x2}\)

\(=-1+\frac2{1+\tanh^2\frac x2}+c=\frac2{1+\tanh^2\frac x2}+c_1=\frac1{\cosh x}+c_1\)

et \(I=\frac1{\cosh x}+\ln|\tanh\frac x2|+ K\)

Par ce changement de variable nous obtenons :

\(I=\int\frac{dx}{\sinh x \cosh^2x}=\int\frac{dt}{t(\frac{t-t^{-1}}{2})(\frac{t+t^{-1}}4)^2}=8\int\frac{t^2dt}{(t^2-1)(t^2+1)^2}\)

\(=\frac12\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}-\frac14\int\frac{dt}{t^2+1}+\frac18\int\frac{dt}{t-1}-\frac18\int\frac{dt}{t+1}\)

\(=\frac{2t}{1+t^2}+\ln|\frac{t-1}{t+1}|+c\)

Posons \(t=e^x\) d'où \(x=\ln t \Rightarrow\) \(dx=\frac{dt}t\)

\(\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}2=\frac{t-t^{-1}}2=\frac{t^2-1}{2t}\)

puis \(\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}2=\frac{t+t^{-1}}2=\frac{t^2+1}{2t}\)

alors \(I=\int\frac{dx}{\sinh x\cosh x}=8\int\frac{t^2dt}{(t^2-1)(t^2+1)^2}\)

Décomposition de la fraction rationnelle en éléments simples de première et deuxième espèce.

\(G(t)=\frac{t^2}{(t^2-1)(t^2+1)^2}=\frac{At+B}{(t^2+1)^2}+\frac{Ct+D}{t^2+1}+\frac{E}{t-1}+\frac{F}{t+1}\)

\(=\frac1{2(t^2+1)^2}-\frac1{4(t^2+1)}+\frac1{8(t-1)}-\frac1{8(t+1)}\)

avec les valeurs des coefficients

\(E=\lim_{t\rightarrow 1}(t-1)G(t)=\lim_{t\rightarrow 1}\frac{t^2}{(t+1)(t^2+1)^2}=\frac18\)

\(F=\lim_{t\rightarrow -1}(t+1)G(t)=\lim_{t\rightarrow -1}\frac{t^2}{(t-1)(t^2+1)^2}=-\frac18\)

\(Aj+B=\lim_{t\rightarrow +j}(t^2+1)^2G(t)=\lim_{t\rightarrow +j}\frac{t^2}{t^2-1}=\frac12\Rightarrow A = 0\text{ et }B=\frac12\)

\(\lim_{t\rightarrow \infty}tG(t)=0=C+E+F=C+\frac18-\frac18=C\Rightarrow C=0\)

pour \(t= 0\Rightarrow 0=B+D-E+F\Rightarrow D=\frac14-\frac12=-\frac14\)

Par intégration nous obtenons :

\(I=8\int G(t)dt=4\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}-2\int\frac{dt}{t^2+1}+\int\frac{dt}{t-1}-\int\frac{dt}{t+1}\)

Avec :

\(\int\frac{dt}{(t^2+1)^2}=\int\frac{1+t^2-t^2}{(t^2+1)^2}dt=\int\frac{dt}{t^2+1}+\frac12\int\frac{t(-2t)dt}{(t^2+1)^2}\)

\(=\frac12\arctan t+\frac t{2(t^2+1)}+c_1\)

\(\int\frac{dt}{t^2+1}=\arctan t + c_2\)

\(\int\frac{dt}{t+1}=\ln|t+1|+c_3\)

\(\int\frac{dt}{t-1}=\ln|t-1|+c_4\)

d'où : \(I=4(\frac12\arctan t+\frac t{2(t^2+1)})-2\arctan t + \ln|t+1|+\ln|t-1|+c\)

\(I=\frac{2t}{t^2+1}+\ln|\frac{t-1}{t+1}|+c=\frac{2e^x}{e^{2x}+1}+\ln|\frac{e^x-1}{e^x+1}|+c\)

or : \(\frac{2e^x}{2e^x+1}=\frac1{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}=\frac1{\cosh x}\)

et : \(\frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{e^{x/2}-e^{-x/2}}{e^{x/2}+e^{-x/2}}=\frac{\sinh\frac x2}{\cosh \frac x2}=\tanh \frac x2\)

donc : \(I = \frac1{\cosh x}+\ln|\tanh\frac x2|+c\)