Équations différentielles du 2ème ordre

Une équation différentielle du 2ème ordre est une relation entre la variable \(x\), la fonction inconnue \(y = y(x)\) et ses dérivées premières \(y'(x)\) et seconde \(y''(x)\).

Forme générale : \(F(x,y,y',y'') = 0 \Leftrightarrow x^{2}(\ln x -1)y'' -xy' +y=0\)

Forme incomplète :

\(F(x,y'') = 0 \qquad \Leftrightarrow y''-1/x = 0\)

\(F(y,y'') = 0 \qquad \Leftrightarrow y''-1+{y'}^{2} = 0\)

\(F(x,y',y'') = 0 \quad \Leftrightarrow xy'' + y' +x = 0\)

\(F(y,y',y'') = 0 \quad \Leftrightarrow yy'' - y'^{2} -y^{4} = 0\)

Une équation différentielle linéaire du 2ème ordre est de la forme :

\(\mathbf{(e)}\) \(a(x) y'' + b(x) y' + c(x) y = f(x)\)

où \(a\), \(b\), \(c\) et \(f\) sont des fonctions continues de la variable x sur un intervalle \(I \in \mathbb{R}\); \(a(x)\), \(b(x)\) et \(c(x)\) sont les coefficients de l'équation différentielle et \(f(x)\) le second membre.

Pour tout intervalle \(I\), où \(a(x)\) ne s'annule pas, nous pouvons transformer \(\mathbf{(e)}\) :

\(\mathbf{(E)}\) \(y'' + A(x) y' + B(x) y = F(x)\)

On associe à l'équation \(\mathbf{(e)}\) ou \(\mathbf{(E)}\) avec second membre (EASM), de l'équation \(\mathbf{(e_{0})}\) ou \(\mathbf{(E_{0})}\) sans second membre (ESSM), dite équation homogène.

\(\mathbf{(e_{0})}\) \(a(x) y'' + b(x) y' + c(x) y = 0\)

ou \(\mathbf{(E_{0})}\) \(y'' + A(x) y' + B(x) y = 0\)

En sciences physiques, la loi d'évolution de certains phénomènes physiques obéissent à une équation de ce type où les coefficients sont constants et le second membre une constante ou une fonction sinusoïdale de la variable temps.

\(\mathbf{(e)}\) \(a y'' + b y' + c y = f(x)\) \((a, b, c \textrm{ constantes})\)

ou \(\mathbf{(E)}\) \(y'' + A y' + B y = F(x)\) \((A, B \textrm{ constantes})\)