ED linéaires à coefficients constants, avec second membre

Définition

Une équation différentielle linéaire du 2ème ordre à coefficients constants, avec second membre, est de la forme :

(e) \(a y'' + b y' + c y = f(x)\) ou (E) \(y'' + A y' + B y = F(x)\)

\(A\), \(B\) sont des coefficients constants et \(F(x)\) le second membre. A cette équation nous associons l'équation sans second membre :

(E_{0}) \(y'' + A y' + B y = 0\)

Théorème

La solution générale \(y\) de (E) est la somme de la solution générale \(y_{H}\) de \((E_{0})\) et d'une solution particulière \(y_{p}\) de (E):

\(y = y_{H} + y_{P}\)

En effet, si \(y\) est solution générale de (E) alors

\(y''(x) + A y'(x) + B y(x) = F(x)\)

de même pour la solution particulière \(y_{p}\) de \((E_{0})\)

\(y_{p}''(x) + A y_{p}'(x) + B y_{p}(x) = F(x)\)

Par soustraction de ces deux équations :

\([y"(x) - y_{p}"(x)] + A [y'(x) - y_{p}'(x)] + B [y(x) - y_{p}(x)] = 0\)

\([y(x) - y_{p}(x)]'' + A [y(x) - y_{p}(x)]' + B [y(x) - y_{p}(x)] = 0\)

En posant \(y_{H} = y(x) - y_{p}(x)\), cette solution vérifie l'équation homogène \((E_{0})\) et par suite \(y = y_{H} + y_{p}\) .

  • Recherche de \(y_{H}\) solution générale de \((E_{0})\).

    Nous avons trouvé précédemment, les solutions suivant le signe du discriminant de l'équation caractéristique \(r^{2} + Ar + B = 0\). La solution générale est \(y_{H} = K_{1} y_{1}(x) + K_{2} y_{2}(x)\) avec les constantes \(K_{1}\) et \(K_{2}\) et les deux solutions linéairement indépendantes \(y_{1}(x)\) et \(y_{2}(x)\) de \((E_{0})\).

    Cas où \(\Delta >0\)

    \(y_{H} = K_{1} e^{r_{1}x} + K_{2} e^{r_{2}x}\)

    \(y_{1}(x) = e^{r_{1}x} \textrm{ et } y_{2} (x) = e^{r_{2}x}\)

    Cas où \(\Delta =0\)

    \(y_{H} = e^{rx} (K_{1} + K_{2})\)

    \(y_{1}(x) = x e^{rx} \textrm{ et } y_{2}(x) = e^{rx}\)

    Cas où \(\Delta <0\)

    \(y_{H} = e^{\alpha x} (K_{1} \cos \beta x + K_{2} \sin \beta x)\)

    \(y_{1}(x) = e^{\alpha x} \sin \beta x \textrm{ et } y_{2}(x) = e^{\alpha x} \sin \beta x\)

  • Recherche de \(y_{p}\) solution générale de (E).

    Une des méthodes suivantes peut être utilisée :

Méthode générale de la "variation des constantes"

Nous considérons les constantes \(K_{1}\) et \(K_{2}\) comme des fonctions inconnues de \(x\) et cherchons la solution particulière \(y_{p}\) de l'équation (E) sous la forme :

\(y_{p}(x) = K_{1}(x) y_{1}(x) + K_{2}(x) y_{2}(x)\)

Calculons la dérivée première :

\(y_{p}'(x) = K_{1}'(x) y_{1}(x) + K_{2}'(x) y_{2}(x) + K_{1}(x) y_{1}'(x) + K_{2}(x) y_{2}'(x)\)

Puisque nous cherchons une solution particulière nous imposons la condition :

\(K_{1}'(x)y_{1}(x)+K_{2}'(x)y_{2}(x) = 0\) \(\mathbf{(1)}\)

et \(y_{p}'(x)\) devient \(y_{p}'(x) = K_{1}(x) y_{1}'(x) + K_{2}(x) y_{2}'(x)\). Par une nouvelle dérivation nous obtenons \(y_{p}''(x)\)

\(y_{p}''(x) = K_{1}(x) y_{1}''(x) + K_{2}(x) y_{2}''(x) + K_{1}'(x) y_{1}'(x) + K_{2}'(x) y_{2}'(x)\)

En portant dans (E) les expressions de \(y_{p}\), \(y_{p}'\) et \(y_{p}''\) nous avons l'équation :

\(K_{1}'(x)y'_{1}(x)+K_{2}'(x)y'_{2}(x) = F(x)\) \(\mathbf{(2)}\)

en tenant compte que les solutions \(y_{1}(x)\) et \(y_{2}(x)\) de \((E_{0})\) vérifient :

\(y_{1}''(x) + A y_{1}'(x) + B y_{1}(x) = 0\)

et \(y_{2}''(x) + A y_{2}'(x) + B y_{2}(x) = 0\)

Le système \(\mathbf{(1)} + \mathbf{(2)}\) permet de déterminer les fonctions \(K_{1}'(x)\) et \(K_{2}'(x)\) qui par intégration conduisent à \(K_{1}(x)\) et \(K_{2}(x)\) et à la solution particulière

\(y_{p}(x) = K_{1}(x) y_{1}(x) + K_{2}(x) y_{2}(x)\)

Résoudre \(y'' + y = \tan x\) (voir démonstration ci-dessous)

Méthode particulière des "coefficients indéterminés"

Suivant la forme du second membre, une méthode d'identification des coefficients permet de déterminer la solution particulière \(y_{p}\) de (E).

(E) \(y'' + A y' + B y = F(x)\)

Au niveau des exemples, appuyer sur les puces violettes pour visualiser les différentes étapes de la résolution.

  • F(x) = h (h : constante)

    \(y_{p} = k\) (k :cste) si \(B^{1} = 0\)

    \(y_{p} = kx\) (k : cste) si \(B = 0\) et \(A^{1} = 0\)

    \(y_{p} = kx^{2}\) (k : cste) si \(B = A = 0\)

    Différents exemples proposés ici : exemple 1[5], exemple 2[6], exemple 3[7].

  • F(x) = \(\textrm{P}_{n}(x)\) (\(\textrm{P}_{n}(x)\) : polynôme de degré n)

    \(y_{p} = Q_{n}(x)\) Polynôme de degré n si \(B^{1} = 0\)

    \(y_{p} = Q_{n+1}(x)\) Polynôme de degré n+1 si \(B = 0\) et \(A^{1} = 0\)

    \(y_{p} = Q_{n+2}(x)\) Polynôme de degré n+2 si \(B = A = 0\)

    Différents exemples proposés ici : exemple 1[8], exemple 2[9], exemple 3[10].

  • F(x) = \(\textrm{h.e}^{\alpha x}\) (\(\alpha\) et h \(\in\) \(\textrm{R}^{2}\))

    \(y_{p} = \textrm{k.e}^{\alpha x}\) si \(\alpha\) n'est pas une racine de E.C.

    \(y_{p} = \textrm{kx.e}^{\alpha x}\) si \(\alpha\) est racine simple de E.C.

    \(y_{p} = \textrm{k}x^{2}\textrm{.e}^{\alpha x}\) si \(\alpha\) est racine double de E.C.

    Différents exemples proposés ici : exemple 1[11], exemple 2[12], exemple 3[13].

  • F(x) = \(\textrm{P}_n{x}.e^{\alpha x}\) (\(\textrm{P}_{n}(x)\) : polynôme de degré n) et \(\alpha \in\) R

    \(y_{p} = \textrm{Q}_\textrm{{n}(x)}\textrm{.e}^{\alpha x}\) Polynôme de degré n si \(\alpha\) n'est pas racine de E.C.

    \(y_{p} = \textrm{Q}_\textrm{{n+1}(x)}\textrm{.e}^{\alpha x}\) Polynôme de degré n+1 si \(\alpha\) n'est pas racine de E.C.

    \(y_{p} = \textrm{Q}_\textrm{{n+2}(x)}\textrm{.e}^{\alpha x}\) Polynôme de degré n+2 si \(\alpha\) n'est pas racine de E.C.

    Différents exemples proposés ici : exemple 1[14], exemple 2[15], exemple 3[16].

  • F(x) = \(\textrm{C} \sin \beta x + \textrm{D} \cos \beta x\) (C et D \(\in \textrm{R}^{2}\) et \(\beta \in\) R*)

    \(yp = \lambda \sin \beta x + \mu \cos \beta x\) si ± \(\textrm{j} \beta\) n'est pas racine de E.C.

    \(yp = x (\lambda \sin \beta x + \mu \cos \beta x\)) si ± \(\textrm{j} \beta\) est racine de E.C.

    Différents exemples proposés ici : exemple 1[17], exemple 2[18].

  • F(x) = \(\textrm{e}^{\alpha x}\) (\(\textrm{C} \sin \beta x + \textrm{D} \cos \beta x\)) (C, D et \(\alpha \in \textrm{R}^{3}\) et \(\beta \in\) R*)

    \(yp = \textrm{e} \alpha x\)(\(\textrm{l} \sin \beta x + \mu \cos \beta x\)) si a ± \(\textrm{j} \beta\) n'est pas racine de E.C.

    \(yp = \textrm{xe} \alpha x\)(\(\alpha \sin \beta x + \mu \cos \beta x\)) si a ± \(\textrm{j} \beta\) est racine de E.C.

    Différents exemples proposés ici : exemple 1[19], exemple 2[20].

  • F(x) = \(\textrm{e}^{\alpha x}\) \( (\textrm{P}_{\textrm{n}}(x) \sin \beta x + \textrm{Q}_{\textrm{m}}(x) \cos \beta x) ~~ ( \alpha \in~\textrm{R}~\textrm{et}~\beta \in~\textrm{R*} )\)\(\textrm{P}_{\textrm{n}}(x)\) et \(\textrm{Q}_{\textrm{m}}(x)\) : polynômes de degré n et m

    Posons \(\textrm{R}_{\textrm{p}}(x)\) et \(\textrm{S}_{\textrm{p}}(x)\) : polynômes de degré p = Max(n, m)

    \(y_{p} = \textrm{e}^{\alpha x} (\textrm{R}_{\textrm{p}}(x) \sin \beta x + \textrm{S}_\textrm{p}(x) \cos \beta x)\) si a ± \(\textrm{j} \beta\) n'est pas racine de E.C.

    \(y_{p} = \textrm{e}^{\alpha x} (\textrm{R}_{\textrm{p + 1}}(x) \sin \beta x + \textrm{S}_\textrm{p + 1}(x) \cos \beta x)\) si a ± \(\textrm{j} \beta\) est racine de E.C.

    Différents exemples proposés ici : exemple 1[21], exemple 2[22].

  • F(x) = \(\underset{i}{\sum} f_{i}~(x)\)

    La solution particulière \(y_{p}\) de (E) est la somme des solutions particulières \(y_{pi}\) vérifiant les équations différentielles : (Ei) \(y_{pi"} + \textrm{A}~y_{pi'} + \textrm{B}~y_{pi} = f_{i}(x)\) ;

    d'où : \(y_{p} = \underset{i}{\sum}~y_{pi}~(x)\)

    Différents exemples proposés ici : exemple 1[23], exemple 2[24], exemple 3[25].