ED linéaires à coefficients variables, avec second membre

Définition

Une équation différentielle linéaire, du 2ème ordre, à coefficients variables avec second membre est du type : \(a(x)~y" + b(x)~y' + c(x)~y = f(x) \quad \textcolor{blue}{(e)}\)

\(a(x)\), \(b(x)\) et \(c(x)\) sont des fonctions continues de la variables \(x\) sur \(I \in \mathbb{R}\) et \(f(x)\) le second membre.

Pour les valeurs de \(x\) telles que \(a(x)^{1} 0\), nous posons : \(A(x) = \frac{b(x)}{a(x)}\) ; \(B(x) = \frac{c(x)}{a(x)}\) et \(F(x) = \frac{f(x)}{a(x)}\), d'où :

\(y" + A(x)~y' + B(x)~y = F(x) \quad \textcolor{blue}{(E)}\)

A cette équation nous associons l'équation sans second membre.

\(y" + A(x)~y' + B(x)~y = 0 \quad \textcolor{blue}{(E_{0})}\)

Théorème

Comme pour les équations différentielles à coefficients constants :

"La solution générale \(\textbf{y}\) de \(\textcolor{blue}{(E)}\) est la somme de la solution générale \(\textcolor{red}{y_{H}}\) de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\) et d'une solution particulière \(\textcolor{red}{y_{p}}\) de \(\textcolor{blue}{(E)}\): \(y = y_{H} + y_{p}\) "

La démonstration est similaire à celle des Équations différentielles linéaires à coefficients constants.

Explication

Recherche de \(\textcolor{red}{y_{H}}\) solution générale de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\)

La résolution de l'équation \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\) a été faite précédemment et a conduit à la solution :

\(\textcolor{red}{y_{H}} = K_{1} y_{1}(x) + K_{2} y_{2}(x)\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)

Recherche de \(\textcolor{red}{y_{p}}\) solution particulière de \(\textcolor{blue}{(E)}\)

La solution particulière \(y_{p}\) est évidente, alors \(\textcolor{red}{y = y_{H} + y_{p}}\)

Exemple : Résoudre l'équation d'Euler \(x^{2}~y" - 4x~y' + 6~y = x \qquad \textcolor{blue}{(E)}\)

La solution particulière n'est pas évidente et \(y_{p}\) sera déterminée par la méthode de "variation des constantes". Cette méthode a été exposée dans la recherche des équations différentielles à coefficients constants avec second membre.