Équations différentielles du 2ème ordre

Pour trouver la fonction \(y = y(x)\), il suffit d'intégrer deux fois de suite.

\(y" = \frac{\textrm{d}^{2}\textrm{y}}{\textrm{dx}^{2}} = f(x) \Rightarrow \frac{\textrm{dy}'}{\textrm{dx}} = \int~f(x)~\textrm{dx} = F(x) + K_{1}\)

puis \(y(x) = \int \Big[ F(x) + K_{1} \Big]~\textrm{dx}\)

\(\textcolor{red}{y(x) = G(x) + K_{1}x + K_{2}}\) où \(K_{1}\) et \(K_{2}\) sont deux constantes arbitraires.

Résoudre : \(\frac{\textrm{d}^{2} \textrm{y}}{\textrm{dx}^{2}} = xe^{x}\).

Multiplions les deux membres par \(2~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}}~\textrm{dx}\) d'où : \(\frac{\textrm{d}^{2}\textrm{y}}{\textrm{dx}^{2}}= f(y) \Rightarrow 2~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}}~\frac{\textrm{d}^{2}\textrm{y}}{\textrm{dx}^{2}} = 2f(y) \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}}~\textrm{dx}\).

Soit \(d~\left[ \left( \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}} \right)^{2} \right] = 2 f(y)~\textrm{dy}\),

par intégration : \(\left( \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}} \right)^{2} = \int~2f(y)~\textrm{dy} = F(y) + K_{1}\), où \(K_{1}\) est une constante arbitraire.

\(\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}} = \pm~\Big[ F(y) + K_{1} \Big]^{1/2}\)

Cette équation du 1er ordre à variables séparables : \(\pm \frac{\textrm{dy}}{\left[ F(y) + K_{1} \right]^{1/2}} = \textrm{dx}\) conduira, après intégration, à \(G[y, K_{1}] = x + K_{2}\).

Il restera à expliciter \(y = f(x)\).

Résoudre : \(\frac{\textrm{d}^{2} \textrm{y}}{\textrm{dx}^{2}} = -4y\)

On cherche \(y'\) fonction de \(x\) en posant \(u = y'\), soit \(y" = \frac{\textrm{d}^{2}\textrm{y}}{\textrm{dx}^{2}} = \frac{\textrm{dy}'}{\textrm{dx}} = \frac{\textrm{du}}{\textrm{dx}} = u'\)

On obtient la fonction \(F(x, u, u') = 0 \Leftrightarrow u' = f(x, u)\), qui est une équation différentielle du 1er ordre dont la solution sera : \(u = \rho~(x, K_{1})~\textrm{dx} + K_{2}\)

Résoudre : \(x^{2}y" - xy' = 3x^{3} \qquad x \neq 0\).

On cherche \(y'\) fonction de \(x\) en posant \(u = y'\) soit

\(y" = \frac{\textrm{d}^{2}\textrm{y}}{\textrm{dx}^{2}} = \frac{\textrm{dy}'}{\textrm{dx}} = \frac{\textrm{du}}{\textrm{dx}} = \frac{\textrm{du}}{\textrm{dy}}~.~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}} = \frac{\textrm{du}}{\textrm{dy}}~u\)

On obtient \(F(y, u, u~du/dy ) = 0 \Leftrightarrow u~du/dy = f(y, u)\) qui est une équation différentielle du 1er ordre dont il est possible de séparer les variables : \(g(u)~du = h(y)~dy\).

On en déduit \(u( K1, y)\) et \(x\) fonction de \(y\) par une quadrature : \(x = \int~\frac{\textrm{dy}}{u(K_{2}, y)} + K_{2} = \phi(K_{1}, y) + K_{2}\)

Il reste à expliciter \(y = f(x)\) de cette expression.

Résoudre : \(yy" = y'^{2}\).