ED linéaires à coefficients constants, sans second membre

Définition

Une équation différentielle linéaire du 2ème ordre à coefficients constants, sans second membre est de la forme :

\(\color{blue}(e_0)~~\color{red} ay" + b y' + c y = 0\)

\(a,\) \(b\) et \(c\) sont des constantes et comme \(a \neq 0,\) par simplification en posant \(A = b/a\) et \(B = c/a\):

\(\color{blue}(E_0)~~\color{red} y" + A y' + B y =0\)

Théorème

Si \(y_1(x)\) et \(y_2(x)\) sont deux solutions linéairement indépendantes de \(\color{blue}(E_0)\), alors la solution générale de \(\color{blue}(E_0)\) est :

\(\color{red}y_H = K_1 y_1(x) + K_2 y_2(x)~~\) \(K_1\) et \(K_2\) étant des constantes arbitraires

En effet : Pour tout \(x \in I\) de \(\mathbb R.\)

\(y_1(x)\) solution de \(\color{blue}(E_0)\) : \(y_1"(x) + A y_1'(x) + B y_1(x) = 0 ~~\color{blue}(E_{01})\)

\(y_2(x)\) solution de \(\color{blue}(E_0)\) : \(y_2"(x) + A y_2'(x) + B y_2(x) = 0~~ \color{blue}(E_{02})\)

En multipliant \(\color{blue}(E_{01})\) par \(K_1\) et \(\color{blue}(E_{02})\) par \(K_2\) et en additionnant :

\((K_1 y_1"(x) + K_2 y_2"(x)) + A (K_1 y_1'(x) + K_2 y_2'(x)) + B ((K_1 y_1(x) + K_2 y_2(x)) ) = 0\)

\((K_1 y_1(x) + K_2 y_2(x))" + A (K_1 y_1(x) + K_2 y_2(x))' + B ((K_1 y_1(x) + K_2 y_2(x)) ) = 0\)

On obtient pour tout \(x \in I\) :

\(y"(x) + A y'(x) + B y(x) = 0\)\(y = K_1 y_1(x) + K_2 y_2(x)\)

Remarque

Les solutions \(y_1(x)\) et \(y_2(x)\) sont linéairement indépendantes si

\(\forall (\lambda, \mu) : \lambda y_1(x) + \mu y_2(x) = 0 \Rightarrow \lambda = \mu = 0\)

Résolution

Soit à résoudre : \(y" + A y' + B y = 0~~\color{blue} (E_0)\)

Par analogie aux équations différentielles linéaires du 1er ordre à coefficients constants, on cherche des solutions particulières du type :

\(y = K e^{rx}~~ K \in R^*\) et \(r \in C\)

d'où \(y' = Kr e^{rx} ,~~ y" = Kr^2 e^{rx}\)

soit en reportant dans \(\color{blue}(E_0)\) :

\((r^2 + Ar + B) K e^{rx} = 0\)

Puisque \(K e^{rx}\) ne s'annule jamais, \(r\) est solution de l'équation du second degré :

\(\color{blue}r^2 + Ar + B = 0~~\text{ Equation Caractéristique E.C.}\)

Nous posons : \(\color{red}\Delta = A^2 - 4B\) son discriminant.

Types de résolutions suivant le signe de Δ

1er cas : \(\color{red}\Delta > 0\), E.C. admet deux racines réelles distinctes :

\(\color{blue}r_1=\frac{-A-\sqrt\Delta}{2}\) et \(\color{blue}r_2=\frac{-A+\sqrt\Delta}2\)

L'intégrale générale est :

\(\color{red}y_H = K_1 e^r1^x + K_2 e^r2x~~\) \(K_1\) et \(K_2 \in \mathbb R^2\)

Démonstration1

Supposons \(\Delta = A^{2} - 4B > 0\) et soit \(r_{1}\) une racine de l'équation caractéristique : \(r^{2} + A r + B = 0\)

Effectuons le changement de fonction inconnue \(y(x) = z(x)\) \(e^{r_{1}{x}}\) dans l'équation \(\color{blue}(E_0)\) : \(y" + Ay' + By =0\), d'où

\(y'(x) = z'(x) e^{r_{1}{x}} + r_{1} z(x) e^{r_{1}{x}}\)

et \(y''(x) = z''(x) e^{r_{1}{x}} + 2r_{1} z'(x) e^{r_{1}{x}} + r_{1}^{2} z(x) e^{r_{1}{x}}\)

La fonction \(z(x)\) vérifie donc l'équation :

\([ z''(x) + (2r_{1} + A) z'(x) + (r_{1}^{2} + Ar_{1} + B) z(x)] e^{r_{1}{x}} = 0\)

or \(r_{1}\) solution de E.C. entraîne que : \(r_{1}^{2} + Ar_{1} + B =0\), d'où

\(z''(x) + (2r_{1} + A) z'(x) = 0\)

Cette équation linéaire du 1er ordre en \(u(x) = z'(x)\) s'intègre pour donner :

\(u'(x) + (2r_{1} + A) u(x) = 0\)

\(\Rightarrow u(x) = z'(x) = C e^{-(2r_{1} + A) x}\)

et \(z(x) = K_{2} e^{-(2r_{1} + A) x} + K_1\)

puis \(y(x) = z(x) e^{r_{1}{x}} = K_2 e^{-( r_{1} + A) x} + K_1e^{r_{1}{x}}\)

or comme \(r_{1} + r_{2} = -A \Rightarrow (r_{1} + A) = -r_{2}\)

\(y(x) = K_{1}e^{r_{1}{x}} + K_{2} e^{r_{2}{x}} \quad K_{1} \textrm{ et } K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)

Types de résolutions suivant le signe de Δ

2ème cas : \(\Delta = 0\), E.C. admet une racine réelle double :

\(r_{1} = r_{2} = r = -\frac{A}{2}\)

L'intégrale générale est :

\(y_{H} = e^{rx} (K_{1}x + K_{2})\) \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)

Démonstration2

Supposons \(\Delta = A^{2} - 4B = 0\) et soit \(r_{1} = r_{2} = 0\) une racine double.

Le changement de fonction inconnue \(y(x) = z(x) e^{rx}\) conduit aux dérivées

\(y'(x) = e^{rx} (z'(x) + r z(x))\)

et \(y''(x) = e^{rx} (z''(x) + 2r z'(x) + r^{2} z(x))\)

Portons dans l'équation \(\color{blue}(E_0) : y" + Ay' + By =0\), d'où

\([ z''(x) + (2r + A) z'(x) + (r^{2} + Ar + B) z(x)] e^{rx} = 0\)

qui par simplification donne

\(z''(x) = 0\)

car \(r\) racine double vérifie \(2r + A = 0\) et \(r^{2} + Ar + B = 0\)

Par intégrations successives, nous obtenons :

\(z'(x) = K_{1}\Rightarrow z(x) = K_1x + K_2\)

et la solution générale de \(\color{blue}(E_0)\) est :

\(y(x) = z(x)e^{rx} = e^{rx} (K_{1}x + K_{2}) \qquad K_{1} \textrm{ et } K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)

Types de résolutions suivant le signe de Δ

3ème cas : \(\Delta < 0\), E.C. admet deux racines complexes :

\(r_ {1} = \frac{-A-j \sqrt{\Delta}}{2} = \alpha - j \beta\)

\(r_ {2} = \frac{-A+j \sqrt{\Delta}}{2} = \alpha + j \beta\)

L'intégrale générale est :

\(y_{H} = e^{\alpha x} (K_1 \cos \beta x + K_2 \sin \beta x) K_1\) et \(K_2 \in \mathbb{R}^2\)

Démonstration3

Supposons \(\Delta = A^{2} - 4B < 0\) et soit les racines \(r = \alpha \pm j\beta\) de l'équation caractéristique : \(r^{2} + Ar + B = 0\)

Le changement de fonction inconnue \(y(x) = z(x) e^{\alpha x}\) conduit aux dérivées successives :

\(y'(x) = e^{\alpha x} (z'(x) + \alpha z(x))\)

et \(y''(x) = e^{\alpha x} (z''(x) + 2\alpha z'(x) + \alpha^{2} z(x))\)

Portons dans l'équation \(\color{blue}(E_0)\) : \(y'' + Ay' + By =0\), d'où

La fonction \(z(x)\) vérifie donc l'équation :

\([ z''(x) + (2\alpha + A) z'(x) + (\alpha^{2} + A\alpha + B) z(x)] e^{\alpha x} = 0\)

En remarquant que : \(\alpha = - A/2 ⇒ (2\alpha + A = 0) \textrm{ et }\alpha^{2} + A\alpha + B = \alpha^{2} - 2\alpha^{2} + \beta^{2} + \alpha^{2} = \beta^{2}\)

L'équation devient :

\(z''(x) + \beta^{2} z(x) = 0\)

Cette équation admet pour solution :

\(z(x) = K_1 \cos \beta x + K_2 \sin \beta x\)

et

\(y(x) = z(x)e^{\alpha x} = e^{\alpha x} (K_{1} \cos \beta x + K_{2} \sin \beta x) \quad K_{1} \textrm{ et } K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)

En Physique, les coefficients \(A\) et \(B\) sont positifs et il est d'usage de poser :

\(A = 2\lambda\) ( \(\lambda\) : coefficient d'amortissement)

\(B = w_{0}^{2}\) (\(w_{0}\) : pulsation propre du système oscillant)

alors l'équation différentielle, de variable t, en énergie libre, s'exprime par :

\(y'' + 2\lambda y' + w_{0}^{2} y = 0\) \(\color{blue}(E_0)\)

avec pour équation caractéristique :

\(r^{2} + 2\lambda r + w_{0}^{2} = 0\) (E.C.)

Nous poserons \(\Delta' = \lambda^{2} - w_{0}^{2}\) son discriminant réduit.

Discriminant réduit

Équation du 2ème degré : \(ax^{2} + bx + c = 0\)

Cette équation a pour discriminant : \(\Delta = b^{2} - 4ac\)

et pour racines :

\(x_{1} = \frac{-b-\sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a} \textrm{ et } x_{2} = \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 ac}}{2 a}\)

Dans le cas, où \(b\) est pair, on pose : \(b = 2b'\)

et \(\Delta = (2b')^{2} - 4ac = 4 ({b'}^{2} - ac) = 4\Delta'\) avec \(\Delta' = {b'}^{2} - 4ac\)

\(x_{1} = \frac{-2b' - 2 \sqrt{{b'}^{2}-4 ac}}{2} = -b' - \sqrt{{b'}^{2} - 4ac} = -b' - \sqrt{\Delta'}\)

\(x_{2} = \frac{-b + 2 \sqrt{{b}^{2}-4 ac}}{2} = -b' + \sqrt{{b'}^{2} - 4ac} = -b' + \sqrt{\Delta'}\)

Résolution de l'équation différentielle suivant le signe de Δ'

discriminant réduit : \(\Delta' = \lambda^{2} - w_{0}^{2}\)

1er cas : \(\Delta' > 0, ~\lambda > w_{0}\) , E.C. admet deux racines réelles distinctes :

\(r_{1} = -\lambda - \sqrt{\Delta'} = -\lambda - \sqrt{\lambda^{2} - \omega_{0}^{2}}\)

\(r_{2} = -\lambda + \sqrt{\Delta'} = -\lambda + \sqrt{\lambda^{2} - \omega_{0}^{2}}\)

La solution générale est (\(E_{0}\)):

\(y(t) = e^{-\lambda t} \left(K_{1} e^{-\sqrt{\Delta'}t} + K_{2}e^{\sqrt{\Delta'}t}\right)\)

avec \(K_{1}\) et \(K_{2}\in \mathbb{R}^{2}\)

Le mouvement est apériodique.

2ème cas : \(\Delta' = 0\), \(\lambda = w_{0}\) , E.C. admet une racine double :

\(r_{1} = r_{2} = r = -\lambda\)

La solution générale est :

\(y(t) = e^{-\lambda t} (K_{1}t + K_{2})\)

avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)

Le mouvement est apériodique critique.

3ème cas : \(\Delta' > 0, ~\lambda < w_{0}\) , E.C. admet deux racines complexes conjuguées :

\(r_{1} = -\lambda - j \sqrt{-\Delta'} = -\lambda - j \sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}} = - \lambda - j \omega\)

\(r_{2} = -\lambda + j \sqrt{-\Delta'} = -\lambda + j \sqrt{\omega_{0}^{2} - \lambda^{2}} = - \lambda + j \omega\)

La solution générale est :

\(y(t) = e^{- \lambda t} (K_{1} \cos \omega t + K_{2} \sin \omega t)\)

avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in R_{2}\)

\(y(t)=Ke^{-\lambda t} \cos (\omega t + \varphi)\)

avec \(K_{1}\) et \(\varphi \in \mathbb{R}^{2}\)

Le mouvement est pseudo-périodique et oscillatoire amorti.

4ème cas :

\(\Delta' < 0\) avec \(\lambda = 0\) , E.C. admet deux racines imaginaires :

\(r_{1} = -j \sqrt{-\Delta} = -j \omega\)

\(r_{2} = +j \sqrt{-\Delta} = +j \omega\)

La solution générale est :

\(y(t) = (K_{1} \cos \omega t + K_{2} \sin \omega t)\)

avec \(K_{1}\) et \(K_{2} ~\in \mathbb{R}^{2}\)

avec \(K\) et \(\varphi \in R^{2}\)

Le mouvement est oscillatoire.

Les constantes d'intégration qui interviennent dans la solution générale de \((E_{0})\) peuvent être déterminées par des conditions initiales. Il s'agit souvent de connaître à l'origine des temps, l'élongation \(y(0)\) et la vitesse \(y'(0)\) pour définir la solution particulière vérifiant \((E_{0})\) et ces deux conditions.

En dehors du mouvement oscillatoire, les élongations du "régime libre" tendent vers zéro avec la fonction exponentielle \(e^{-\lambda t}\) \(( \lambda >> 0)\)

Exemple

Exemple