ED linéaires à coefficients variables, sans second membre

Définition

Sur un intervalle \(I \in \mathbb{R}\), une équation différentielle du 2ème ordre, à coefficients variables sans second membre est du type :

\(\textcolor{blue}{(e_{0})} \quad a(x) y" + b(x) y' + c(x) y = 0\)

\(a(x)\), \(b(x)\) et \(c(x)\) sont des fonctions continues de la variable \(x\) sur \(I\). Pour les valeurs de \(x\)\(a(x)^{1} 0\), par simplification nous posons :

\(A(x) = \frac{b(x)}{a(x)}\) et \(B(x) = \frac{c(x)}{a(x)}\)

d'où \(\textbf{y" + A(x) y' + B(x) y = 0} \quad\textcolor{blue}{(E_{0})}\)

Théorème

Comme pour les équations différentielles à coefficients constants :

"Si \(y_{1}(x)\) et \(y_{2}(x)\) sont deux solutions linéairement indépendantes de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\), alors la solution générale de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\) est \(y_{H} = K_{1}y_{1}(x) + K_{2}y_{2}(x)\), \(K_{1}\) et \(K_{2}\) étant des constantes arbitraires."

Explication

Il faut considérer plusieurs cas :