ED linéaires à coefficients variables, sans second membre [Équations différentielles du 2ème ordre]

ED linéaires à coefficients variables, sans second membre

Définition :

Sur un intervalle \(I \in \mathbb{R}\), une équation différentielle du 2ème ordre, à coefficients variables sans second membre est du type :

\(\textcolor{blue}{(e_{0})} \quad a(x) y" + b(x) y' + c(x) y = 0\)

où \(a(x)\), \(b(x)\) et \(c(x)\) sont des fonctions continues de la variable \(x\) sur \(I\). Pour les valeurs de \(x\) où \(a(x)^{1} 0\), par simplification nous posons :

\(A(x) = \frac{b(x)}{a(x)}\) et \(B(x) = \frac{c(x)}{a(x)}\)

d'où \(\textbf{y" + A(x) y' + B(x) y = 0} \quad\textcolor{blue}{(E_{0})}\)

Théorème :

Comme pour les équations différentielles à coefficients constants :

"Si \(y_{1}(x)\) et \(y_{2}(x)\) sont deux solutions linéairement indépendantes de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\), alors la solution générale de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\) est \(y_{H} = K_{1}y_{1}(x) + K_{2}y_{2}(x)\), \(K_{1}\) et \(K_{2}\) étant des constantes arbitraires."

Explication :

Il faut considérer plusieurs cas :

On connaît^[1] deux solutions particulières^[1] \(y_{1}(x)\) et \(y_{2}(x)\) de l'équation \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\),
On connaît une solution particulière^[2] \(y_{1}(x)\) de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\),
On ne connaît aucune solution particulière^[3] de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\),
On se ramène à une équation différentielle linéaire à coefficients constants^[4] par changement de variables.

Notes

On connaît deux solutions particulières de l'équation (E0)
On connaît deux solutions particulières \(\textcolor{red}{y_{1(x)}}\) et \(\textcolor{red}{y_{2(x)}}\) de l'équation \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\), alors la solution générale est immédiate :
\(\textcolor{red}{y_{H}} = K_{1} \textcolor{red}{y_{1}(x)} + K_{2} \textcolor{red}{y_{2}(x)}\) avec (\(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R^{2}}\)
EXEMPLE
Résoudre \(\textbf{(x-1) y" - x y' + y = 0}\)
Cette équation admet comme solutions particulières évidentes :
- \(\textcolor{red}{y_{1(x)}} = 0 \Big( (x-1) 0 - x + x = 0 \Big)\)
- \(\textcolor{red}{y_{1(x)}} = e^{x} \Big( (x-1) e^{x} - x e^{x} + e^{x} = 0 \Big)\)
d'où la solution générale : \(\textcolor{red}{y(x) = K_{1} y_{1}(x) + K_{2} y_{2}(x) = K_{1}x + K_{2} e^{x}}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
On connaît une solution particulière de (E0)
On connaît une solution particulière \(y_{1}(x)\) de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\) alors on cherche une deuxième solution \(y_{2}(x)\) de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\) de la forme : \(y_{2}(x) = y_{1}(x)~z(x)\) où \(z(x)\) est une fonction à déterminer,
d'où \(y_{2}'(x) = y_{1}'(x)~z(x) + y_{1}(x)~z'(x)\)
et \(y_ {2}"(x) = y_{1}"(x)~z(x) + 2 y_{1}'(x)~z'(x) + y_{1}(x)~z"(x)\).
En reportant dans \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\), il vient :
\(y_{1}"~z + 2y_{1}'~z' + y_{1}~z" + A(x)~[y_{1}'~z + y_{1}~z'] + B(x)~y_{1}~z = 0\)
\(y_{1}~z" + [ 2y_{1}' + A(x)y_{1}]~z' + [ y_{1}" + A(x)y_{1}' + B(x) y_{1}]~z = 0\)
\(y_{1}" + A(x)y_{1}' + B(x)y_{1}\) est nulle car \(y_{1}(x)\) est solution de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\),
donc \(y_{1}~z" + \Big( 2y_{1}' + A(x)y_{1} \Big)~z' = 0\).
C'est une équation linéaire du premier ordre par rapport à la fonction \(u = z' \Rightarrow y_{1}~u'(x) + \Big( 2y_{1}' + A(x)y_{1} \Big) u(x) = 0\)
Après intégration on en déduit \(z(x)\) par une quadrature, puis \(y_{2}(x)\).
Exercice : Résoudre : \(x^{2} \Big( \ln{x} - 1 \Big) y" - x y' + y = 0\) avec \(y_{1}(x) = x\) solution particulière.
Correction
Résoudre \(x^{2} \Big( \ln{x} - 1 \Big) y" - xy' + y = 0\) \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\) avec \(y_{1}(x) = x\) solution particulière de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\)
Changement de variables
Cherchons \(y_{2}(x)\) sous la forme : \(y_{2}(x) = x z(x)\) d'où \(y_{2}' = z + xz'\) et \(y_{2}" = 2z' + xz"\)
Portons ces expressions dans (\(\textcolor{green}{E_{0}}\)) :
\(x^{2}~\Big( \ln{x} - 1\Big) \Big( 2z' + xz"\Big) - x \Big( z + xz' \Big) + xz = 0\)
\(x^{3}~\Big( \ln{x} - 1 \Big) z" + x^{2} \Big( 2 \ln{x} - 3 \Big) z' = 0\)
Un changement \(u = z'\) conduit à une équation linéaire du premier ordre en \(u'\) : \(x^{3} \Big( \ln{x} - 1\Big) u' + x^{2} \Big( 2 \ln{x} - 3\Big) u = 0\)
Pour les valeurs de \(x \in \mathbb{R}^{*}_{+}\) et \(x \neq e\), nous simplifions l'expression : \(\textcolor{red}{\frac{u'}{u} = - \frac{\Big( 2 \ln{x} - 3 \Big)}{x \Big( \ln{x} - 1\Big)} = - \frac{2}{x} + \frac{1}{\ln{x} - 1}}\)
Intégration
Par intégration :
\(\ln{u} = -2 \ln{|x|} + \ln{|\ln{x} - 1|}\)
\(\ln{|u|} = \ln \frac{|\ln{x} - 1|}{x^{2}}\)
d'où \(u = z' = \lambda \ln{\frac{\ln{x} - 1}{x^{2}}}\) avec \(\lambda \in \mathbb{R}\) (nous prendrons \(\textcolor{blue}{\lambda = 1}\) pour une solution particulière)
et \(z = \int~\frac{\ln{x}}{x^{2}}~\textrm{dx} - \int~\frac{\textrm{dx}}{x^{2}}\).
Or, \(\int~\frac{\ln{x}}{x^{2}}~\textrm{dx} = - \frac{1}{x}~\ln{x} - \int \left(-\frac{\textrm{dx}}{x^{2}} \right)= -\frac{1}{x}~\ln{x} - \frac{1}{x} + µ \qquad µ \in \mathbb{R}\)
On posera \(\textcolor{blue}{µ = 0}\) car solution particulière ;
d'où : \(\textcolor{blue}{z} = -\frac{1}{x}~\ln{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \textcolor{blue}{-\frac{1}{x}~\ln{x}}\)
Solution générale
... et par suite : \(y_{2}(x) = zx = -\frac{1}{x} x \ln{x} = - \ln{x}\)
La solution générale \(y_{H}\) de l'équation (\(\textcolor{green}{E_{0}}\)) est donc : \(y_{H} = K_{1}x + K_{2} \ln{x}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
On ne connaît aucune solution particulière de (E0)
On ne connaît aucune solution particulière de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\) alors on cherche la solution générale \(\textcolor{red}{y_{H}}(x)\) de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\) sous la forme d'un produit de fonctions inconnues : \(\textcolor{red}{y_{H}} = u(x)~z(x)\)
On choisit la fonction \(u(x)\) pour rendre nul le facteur de \(z'(x)\). L'équation différentielle du deuxième ordre en \(z"(x)\) ainsi obtenue peut "dans certains cas" s'intégrer facilement.
En effet :
\(\begin{array}{c l}\textrm{si} & y(x) = u(x) z(x) \\ \textrm{alors} & y'(x) = u'(x) z(x) + u(x) z'(x) \\ \textrm{et} & y"(x) = u"(x) z(x) + 2 u'(x)z'(x) + u(x) z"(x)\end{array}\)
Reportons dans l'équation \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\)
\(u" z + 2 u' z' + u z" + A(x)(u'z + uz') + B(x) uz = 0\)
\(u z" + \Big( 2u' + A(x) u \Big) z' + \Big( u" + A(x) u' + B(x) u \Big) z = 0\)
En choisissant la fonction \(u(x)\) telle que le facteur de \(z'(x)\) soit nul, c'est à dire : \(2 u'(x) + A(x) u(x) = 0\) par intégration, nous obtenons \(u(x)\) et la résolution de l'équation différentielle réduite : \(u z" + (u" + A(x) u' + B(x) u) z = 0\) conduit à \(z(x)\). La connaissance des fonctions \(u(x)\) et \(z(x)\) détermine la solution générale \(\textcolor{red}{y_{H}}\) de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\).
Exercice : Résoudre \(y" + 2xy' + (x^{2} + 1) y = 0\).
Correction
Résoudre \(y" + 2xy' + (x^{2} + 1) y = 0\quad\textcolor{blue}{(E_{0})}\)
Changement de fonctions
Cherchons la solution générale sous la forme du produit de deux fonctions inconnues :
\(y(x) = u(x)~z(x) \Longleftrightarrow y = uz\)
Par dérivations successives :
\(y' = u'z + uz'\) et \(y" = u"z + 2u'z + uz"\)
Reportons ces expressions dans \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\) :
\(u"z + 2u'z' + uz" + 2x \Big( u'z + uz' \Big) + \Big( x^{2} + 1 \Big)~uz = 0\)
\(uz" + \Big( 2u' + 2xu \Big)~z' + \Big( u" + 2xu' + \big( x^{2} + 1\big)~u \Big)~z = 0\)
Posons \(2u' + 2xu = 0\) pour annuler le facteur \(z'\), alors par intégration de cette équation différentielle linéaire du 1er ordre :
\(u' + xu = 0 \Longrightarrow u = e^{- \frac{x^{2}}{2}}\)
(La constante d'intégration est prise égale à 1)
Solution générale
La fonction de \(z\) devient, en tenant compte de l'expression de \(u\) :
\(u" + 2xu' + \Big( x^{2} + 1 \Big)~u = e^{- \left( \frac{x^{2}}{2} \right)}~\Big( -1 + x^{2} + 2x(-x) + x^{2} + 1 \Big) = 0\)
Après simplification, l'équation différentielle en \(z"\), \(z'\) et \(z\) devient : \(uz" = 0 \Longrightarrow z" = 0\)
Par intégrations successives : \(z' = K_{1}\) et \(z = K_{1} x + K_{2}\)
La solution générale \(y(x)\) de \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\) est donc :
\(\textcolor{red}{y(x) = uz = e^{-\left( \frac{x^{2}}{2} \right)}~\left( K_{1}~x + K_{2}\right)}\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)
On se ramène à une équation différentielle linéaire à coefficients constants par changement de variables
On se ramène à une équation différentielle linéaire à coefficients constants par changement de variables.
Cas des équations d'Euler de la forme : \(\textcolor{red}{ax^{2}~y" + bx~y' + c~y = 0}\) (ou \(f(x)\) si second membre) ; avec \(a\), \(b\) et \(c\) des constantes réelles.
Puisque \(a^{1} 0\) en posant \(A = \frac{b}{a}\) et \(B = \frac{c}{a}\), nous obtenons :
\(\textcolor{red}{x^{2}~y" + Ax~y' + B~y = 0} \qquad \textcolor{blue}{(E_{0})}\)
Posons \(x = \epsilon~e^{t}\) et ( \(\epsilon = +1\) si \(x > 0\); \(\epsilon = -1\) si \(x < 0\))
\(\Longleftrightarrow \textrm{dx} = \epsilon~e^{t}~\textrm{dt} \Longleftrightarrow \frac{\textrm{dt}}{\textrm{dx}} = \frac{1}{(\epsilon~e^{t})}\)
d'où :
\(y' = \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dx}} = \frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}}~.~\frac{\textrm{dt}}{\textrm{dx}} = \frac{1}{\epsilon~e^{t}}~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}}\)
\(y" = \frac{\textrm{d}^{2}\textrm{y}}{\textrm{dx}^{2}} = \frac{\textrm{dy'}}{\textrm{dx}} = \frac{\textrm{dy'}}{\textrm{dt}}~.~\frac{\textrm{dt}}{\textrm{dx}} \\ \begin{array}{l l} ~~=&\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}~\left( \frac{1}{\epsilon~e^{t}}~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}} \right)~\frac{1}{\epsilon~e^{t}} \\ ~~= & \left( - \frac{1}{\epsilon~e^{t}}~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}} + \frac{1}{\epsilon~e^{t}}~\frac{\textrm{d}^{2}\textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}}\right) \frac{1}{\epsilon~e^{t}} \\ ~~= & \frac{1}{e^{2t}} \left( -\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}} + \frac{\textrm{d}^{2} \textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}} \right) \end{array}\)
En reportant, dans \(\textcolor{blue}{(E_{0})}\), cette équation devient :
\(e^{2t}~\frac{1}{e^{2t}}~\left(~-\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}} + \frac{\textrm{d}^{2}\textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}} \right) + A~\epsilon~e^{t}~\frac{1}{\epsilon~e^{t}}~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}} + B~y = 0\)
\(\textcolor{red}{\frac{\textrm{d}^{2}\textrm{y}}{\textrm{dt}^{2}} + (A - 1)~\frac{\textrm{dy}}{\textrm{dt}} + By = 0}\)
Equation différentielle linéaire à coefficients constants, dont la solution dépend des racines de l'équation caractéristique : \(r^{2} + (A - 1)r + B=0\).
On revient à la variable \(x\) par la transformation \(x = \epsilon~e^{t} \Longleftrightarrow t = \ln{\left| \frac{x}{\epsilon}\right|}\).