Matrice d'une application linéaire (1)

Durée : 5 mn

Note maximale : 6

Question

Soit un espace vectoriel \(E_{2}\) sur \(\mathbb{R}\), de dimension \(2\), rapporté à une base \(\Big( \overset{\rightarrow}{i}, \overset{\rightarrow}{j}\Big)\).

On définit les vecteurs \(\overset{\rightarrow}{u} (\lambda, 1)\) et \(\overset{\rightarrow}{v}(-3, \lambda + 4)\), \(\lambda\) étant un paramètre réel.

Définir les valeurs de \(\lambda\), pour lesquelles la famille est libre ou liée.

Solution

Le déterminant du couple de vecteurs \(\Big( \overset{\rightarrow}{u}, \overset{\rightarrow}{v}\Big)\) dans la base \(\Big( \overset{\rightarrow}{i}, \overset{\rightarrow}{j}\Big)\) est :

\(\Delta = \left| \begin{matrix} \lambda & -3 \\ 1 & \lambda +4 \end{matrix} \right| = \lambda ( \lambda + 4) + 3 = \lambda^{2} + 4 \lambda +3 = \color{blue} (\lambda +1)(\lambda +3)\quad\color{red}(2~\textrm{points})\);

  • si \(\color{blue} \lambda~^{1}~-1\) et \(\color{blue} \lambda~^{1}~-3\), la famille de vecteurs \(\Big( \overset{\rightarrow}{u}, \overset{\rightarrow}{v}\Big)\) est libre \((\Delta~^{1}~0)\quad\color{red}(2~\textrm{points})\)

  • si \(\color{blue} \lambda = -1\) et \(\color{blue} \lambda = -3\) la famille de vecteurs \(\Big( \overset{\rightarrow}{u}, \overset{\rightarrow}{v}\Big)\) est liée \((\Delta = 0)\quad\color{red}(2~\textrm{points})\)