Matrice d'une application linéaire (6)

Durée : 5 mn

Note maximale : 4

Question

On associe à \(E_{3}\), une nouvelle base \(\overset{\rightarrow}{I}\), \(\overset{\rightarrow}{J}\), \(\overset{\rightarrow}{K}\) définie par :

\(\overset{\rightarrow}{I} = \overset{\rightarrow}{i} - 3 \overset{\rightarrow}{k},~~\overset{\rightarrow}{J} = \overset{\rightarrow}{j} + \overset{\rightarrow}{k},~~\overset{\rightarrow}{K} = \overset{\rightarrow}{i} - \overset{\rightarrow}{j} - \overset{\rightarrow}{k}\)

En posant \(\overset{\rightarrow}{x} = X\overset{\rightarrow}{I} + Y\overset{\rightarrow}{J} + Z\overset{\rightarrow}{K}\), le vecteur relatif à la base \(\Big( \overset{\rightarrow}{I}, \overset{\rightarrow}{J}, \overset{\rightarrow}{K} \Big)\), déterminer l'expression de \(f( \overset{\rightarrow}{v})\) et la matrice \(M\) de \(f\) dans cette nouvelle base.

Solution

Exprimons \(f( \overset{\rightarrow}{v})\) dans la base \(\overset{\rightarrow}{I}\), \(\overset{\rightarrow}{J}\), \(\overset{\rightarrow}{K}\) avec les composants \(X\), \(Y\), \(Z\) de \(\overset{\rightarrow}{v}\) :

\(f ( \overset{\rightarrow}{v} ) = f \Big( X \overset{\rightarrow}{I} + Y \overset{\rightarrow}{J} + Z \overset{\rightarrow}{K} \Big) = X f ( \overset{\rightarrow}{I} ) + Y f(\overset{\rightarrow}{J}) + Z f(\overset{\rightarrow}{K} )\)

sachant que :

  • \(\color{blue}f( \overset{\rightarrow}{I}) \color{black} = f ( \overset{\rightarrow}{i} - 3\overset{\rightarrow}{k} ) = f( \overset{\rightarrow}{i} ) - 3f ( \overset{\rightarrow}{k} ) = 3 - 3~\textrm{x}~1 = \color{blue}0\)

  • \(\color{blue}f( \overset{\rightarrow}{J}) \color{black} = f ( \overset{\rightarrow}{j} + \overset{\rightarrow}{k} ) = f( \overset{\rightarrow}{j} ) + f ( \overset{\rightarrow}{k} ) = -1 + 1 = \color{blue}0\)

  • \(\color{blue}f( \overset{\rightarrow}{K}) \color{black} = f ( \overset{\rightarrow}{i} - \overset{\rightarrow}{j} - \overset{\rightarrow}{k} ) = f( \overset{\rightarrow}{i} ) - f ( \overset{\rightarrow}{j} ) - f ( \overset{\rightarrow}{k} ) = 3 +1 - 1 = \color{blue}3\)

d'où \(f ( \overset{\rightarrow}{v} ) = 3 Z\), et \(\color{blue} M = [0 0 3] \qquad \color{red}(2~~\textrm{points})\)

Remarque : Le noyau de \(f\) est donc le plan vectoriel \(\Big( \overset{\rightarrow}{I}, \overset{\rightarrow}{J}\Big)\).