Matrice d'une application linéaire (3)

Durée : 5 mn

Note maximale : 2

Question

Soit un vecteur quelconque \(\overset{\rightarrow}{W}\) de \(E_{2}\) de coordonnées \((x, y)\) dans la base \(\Big( \overset{\rightarrow}{i}, \overset{\rightarrow}{j}\Big)\) et \((X, Y)\) dans la base \(\Big( \overset{\rightarrow}{I}, \overset{\rightarrow}{J}\Big)\).

Déterminer \(x\) et \(y\) en fonction de \(X\) et \(Y\).

Solution

Sachant que pour \(\lambda = -2\) nous avons et \(\overset{\rightarrow}{I} = -2\overset{\rightarrow}{i} + \overset{\rightarrow}{j}\) et \(\overset{\rightarrow}{J} = -3\overset{\rightarrow}{i} + 2 \overset{\rightarrow}{j}\)

Un vecteur \(\overset{\rightarrow}{W}\) s'exprimera dans les deux bases, sous la forme :

\(\begin{array}{r c l} \color{blue}\overset{\rightarrow}{W} & = & x \overset{\rightarrow}{i} + y \overset{\rightarrow}{j} = X \overset{\rightarrow}{I} + Y \overset{\rightarrow}{J} \\ & = & X \Big( -2 \overset{\rightarrow}{i} + \overset{\rightarrow}{j} \Big) + Y \Big( -3 \overset{\rightarrow}{i} + 2 \overset{\rightarrow}{j}\Big) \\ & = & \color{blue} \Big( -2X - 3Y \Big)\overset{\rightarrow}{i} + \Big( X + 2Y\Big)\overset{\rightarrow}{j} \end{array}\)

Les coordonnées de \(\overset{\rightarrow}{W}\) dans la base \(\Big( \overset{\rightarrow}{i}, \overset{\rightarrow}{j}\Big)\) étant unique, nous obtenons les expressions :

\(\color{blue}\begin{array}{l} x = -2X - 3Y \\y = X + 2Y \end{array} \quad \color{red} (2~\textrm{points})\)