Matrice d'une application linéaire (4)

Durée : 5 mn

Note maximale : 2

Question

L'espace vectoriel \(E_{3}\) étant rapporté à la base \(\Big( \overset{\rightarrow}{i}, \overset{\rightarrow}{j}, \overset{\rightarrow}{k}\Big)\), on désigne par \(f\) la forme linéaire de \(E_{3}\) qui, au vecteur \(\overset{\rightarrow}{v} = x\overset{\rightarrow}{i} + y\overset{\rightarrow}{j} + z\overset{\rightarrow}{k}\) associe le nombre : \(f ( \overset{\rightarrow}{v} ) = 3x - y + z\)

Solution

Les éléments de la matrice \(m\) sont les images par \(f\) des vecteurs de base \(\overset{\rightarrow}{i}\), \(\overset{\rightarrow}{j}\) et \(\overset{\rightarrow}{k}\).

Au vecteur \(\overset{\rightarrow}{v} = x\overset{\rightarrow}{i} + y\overset{\rightarrow}{j} + z\overset{\rightarrow}{k}\), l'application \(f\) donne :

\(f ( \overset{\rightarrow}{v} ) = f (x\overset{\rightarrow}{i} + y\overset{\rightarrow}{j} + z\overset{\rightarrow}{k} ) = x f(\overset{\rightarrow}{i}) + y f (\overset{\rightarrow}{j}) + z f (\overset{\rightarrow}{k})\)

qui par identification à :

\(f(\overset{\rightarrow}{v}) = 3x - y + z\)

conduit à :

\(f(\overset{\rightarrow}{i}) = 3 ; f(\overset{\rightarrow}{j}) = -1 ; f(\overset{\rightarrow}{k}) = +1\)

et \(\color{blue} m = [3 -1 1] \qquad \color{red} (2~~\textrm{points})\)