Bobine

Démonstration

Une bobine parcourue par un courant variable est traversée par un flux magnétique variable ; d'après la loi de Lenz, il y apparaît donc une f.é.m. s'opposant aux variations de flux :

\(e=-\frac{d\Phi}{dt}\)

Comme par définition de l'inductance \(L\) de la bobine : \(\Phi = L.i\), nous avons :

\(e=-L\frac{di}{dt}\)

Si le courant variable parcourant la bobine a pour intensité \(i(t) = I_m \cos \omega t\), alors, comme avec la convention de signe choisie \(u = - e\) , il vient :

\(u(t) =L.\omega.I_m \sin \omega t = L.\omega.I_m \cos ( \omega t + \frac{\pi}{2})\)

or :

\(u(t) = U_m \cos ( \omega t +\varphi)\)

d'où les relations :

\(U_m =L.\omega.I_m ; \varphi = \frac{\pi}{2}\)

Dans une bobine, la tension est en avance de \(\frac{\pi}{2}\) sur le courant (ou, ce qui revient au même, le courant est en retard de\(\frac{\pi}{2}\) sur la tension). On dit aussi que la tension est en quadrature avant par rapport au courant.

Le vecteur représentant la tension a donc une longueur proportionnelle à \(L.\omega.I_m\) et fait un angle de \(\frac{\pi}{2}\) avec le vecteur représentant l'intensité, pris comme origine des phases[1].

En notation complexe :

\(\underline i(t)=I_m\textrm{e}^{j\omega t}\)

\(\underline u(t)=L\frac{d\underline i}{dt}=j.L.\omega.I_m\textrm{e}^{j\omega t}=L.\omega.I_m\textrm{e}^{j\omega t}\textrm{e}^{j\frac{\pi}{2}}\)

comme : \(\underline u(t)=U_m\textrm{e}^{j(\omega t+\varphi)}=U_m\textrm{e}^{j\omega t}\textrm{e}^{j\varphi}\), nous avons les relations :

\(U_m = L.\omega.I_m ; \varphi = \frac{\pi}{2}\)

à \(t = 0\), le nombre complexe représentant la tension aux bornes[2] d'une bobine est un point de l'axe imaginaire.