Résolution de l'équation différentielle

Mathématiquement, l'équation \(q"(t) + 2~ \lambda ~q' (t) + \omega_0^2~ q(t) = 0\) est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, de forme générale \(ay" + by' + cy = 0\).

En identifiant terme à terme les deux types d'équations mathématique et physique il vient : \(a = 1~~\) \(b = 2 \lambda~~\) \(c = \omega_0^2~\) et \(~y(x) \Leftrightarrow q(t)\)

A partir des expressions de la solution générale \(y(x)\), que l'on suppose connues, suivant les valeurs positive, nulle ou négative du discriminant \(\Delta = b^2 - 4~ a~c\) ou du discriminant réduit \(\Delta' = \frac{\Delta}{4} = b'^2 - a~c\), on obtient directement les expressions de \(q(t)\) données dans la page suivante.

Rappelons également le calcul complet de résolution à partir de l'équation physique.

RappelMéthode de résolution de l'équation différentielle du second ordre linéaire et à coefficients constants

  • On considère une équation du type \(q"(t) + 2~ \lambda ~q' (t) + \omega_0^2~ q(t) = 0~~~~(1)\)

  • On montre en mathématiques que la solution générale \(q(t)\) d'une telle équation est une combinaison linéaire de deux solutions linéairement indépendantes \(q_1(t)\) et \(q_2(t)\) :

\(q(t) = A~q_1(t) + B ~q_2 (t)\) (\(A\) et \(B\) étant deux constantes) (2)

  • La recherche des solutions \(q_1(t)\) et \(q_2(t)\) se fait en considérant la fonction \(q(t) = e^{rt}\) et en reportant cette fonction dans l'équation (1).

Sachant que \(q' = re^{rt}\) et que \(q" = r^2 e^{rt}\) l'équation (1) conduit à l'équation

\((r^2 + 2~ \lambda~r + \omega_0^2)e^{rt} = 0\).

Nous obtenons ainsi l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle :

\(r^2 + 2~\lambda ~r + \omega_0^2 = 0~~~~\) (3)

Si \(r\) satisfait à cette équation, alors \(q(t) = e^{rt}\) satisfait à l'équation (1). L'équation caractéristique possède en général deux racines (réelles ou complexes conjuguées) \(r_1\) et \(r_2\). On peut donc déterminer deux solutions linéairement indépendantes de (1) :

\(q_1(t) = e^{r_1t}~~\) et \(~~q_2(t) = e^{r_2t}\)

  • La solution générale \(q(t)\) s'écrit :

\(q(t) = Ae^{r_1t} + Be^{r_2t}\)

La forme de \(q(t)\) dépend de la nature des racines \(r_1\) et \(r_2\) et donc des valeurs positive, nulle ou négative du discriminant de l'équation caractéristique associée \(\Delta = 4 ~\lambda^2 - 4 ~\omega_0^2\) ou du discriminant réduit \(\Delta' = \frac{\Delta}{4} = \lambda^2 - \omega_0^2\).

Les expressions de \(q(t)\) sont données dans la page suivante.