Etude de la forme de la réponse d'un oscillateur harmonique amorti en fonction des conditions initiales

Rappel

Un oscillateur étant caractérisé par un coefficient d'amortissement λ et par une pulsation propre \omega_0, le type de régime d'évolution se déduit du calcul du discriminant réduit : \Delta' = \lambda^2 - \omega_0^2.

L'expression de la réponse q(t) d'un oscillateur donné dépend de deux constantes qui sont déterminées à partir des deux conditions initiales : q(t = 0) = q_0 et q'(t = 0) = q'_0.

Connaissant \lambda, \omega_0, q_0 et q'_0, l'expression de la réponse q(t) de l'oscillateur est déterminée.

Les figures suivantes représentent les réponses de trois oscillateurs harmoniques amortis différents évoluant respectivement :

  • en régime apériodique pour le premier,

  • en régime critique pour le second,

  • en régime pseudo-périodique pour le troisième.

La réponse de chaque oscillateur est représentée successivement pour trois couples de valeurs des conditions initiales différents :

  • (q_0 = 1, q'_0 = 0)

  • (q_0 = 1, q'_0 > 0)

  • (q_0 = 1, q'_0 < 0)

Pour chaque oscillateur, la condition q_0 est fixe, la condition q'_0 varie. Les valeurs numériques sont exprimées en unités \mathrm{ SI}.

Les expressions des réponses sont données pour chaque figure.

Régime apériodique

Dans ce type de régime, q(t) tend vers 0 sans oscillation.

L'oscillateur est caractérisé par :

\lambda = 1 \mathrm{ rad.s}^{-1}

\omega_0 = 0,995 \mathrm{ rad . s}^{-1}

\Rightarrow \Delta' = \frac{1}{100} > 0

Régime critique

Dans ce type de régime, q(t) tend vers 0 sans oscillation.

L'oscillateur est caractérisé par :

\lambda = 1 \mathrm{ rad.s}^{-1}

\omega_0 = 1 \mathrm{ rad . s}^{-1}

\Rightarrow \Delta' = 0

Régime pseudo-périodique

L'oscillateur est caractérisé par :

\lambda = 1 \mathrm{ rad.s}^{-1}

\omega_0 = \sqrt{4 \pi^2 + 1} = 6,361 \mathrm{ rad.s}^{-1}

\Rightarrow \Delta' = \lambda^2 - \omega_0^2 = -\omega_1^2

\Rightarrow \Delta' = - 4 \pi^2 < 0