Régimes d'évolution
En fonction du discriminant réduit \(\Delta' = \lambda^2 - \omega_0^2\), on définit les trois régimes suivants :
Régime apériodique
(Cas \(\Delta'>0\))
Il existe deux racines réelles nécessairement négatives :
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lll} r_1 = -\lambda + \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} \\ r_2 = -\lambda - \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2} \end{array}\right.}\)
Alors \(q(t) = e^{-\lambda t} (A e^{\sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}~t} + B e^{-\sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}~t})\)
Autre forme de \(q(t)\) : en rappelant que \(\mathrm{ch}~x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\) et \(\mathrm{sh}~x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\), on montre que
\(q(t) = e^{-\lambda t}[(A+B)~ \mathrm{ch} ~\sqrt{ \Delta' t} + (A - B)~ \mathrm{sh} ~\sqrt{ \Delta't}]\).
Régime critique
(Cas \(\Delta'=0\))
Il existe une racine double réelle négative \(r_1 = r_2 = r = - \lambda\).
Dans ce cas particulier, on montre que \(q(t)\) est égale au produit d'une fonction exponentielle par un polynôme d'ordre 1, soit : \(q(t) = e^{-\lambda t} (A_ct + B_c)\).
Régime pseudo-périodique (ou sinusoïdal amorti)
(Cas \(\Delta'<0\))
Il existe deux racines complexes conjuguées :
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lll} r_1 = - \lambda + j\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2} \\ r_2 = - \lambda - j\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2} \end{array}\right.}\)
En introduisant la pseudo-pulsation \(\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}\), les racines s'écrivent :
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lll} r_1 = - \lambda + j \omega_1 \\r_2 = -\lambda - j \omega_1 \end{array}\right.}\)
En reportant les expressions des racines dans l'expression générale
\(q(t) = A~e^{r_1t} + B~e^{r_2t}\),
le calcul montre que \(q(t)\) s'écrit sous les trois formes équivalentes :
\(q(t) = e^{-\lambda t}(C \cos \omega_1t + D\sin \omega_1 t)\)
\(q(t) =q_m~ e^{-\lambda t } \cos (\omega_1 t + \varphi)\)
\(q(t) =q_m ~ e^{-\lambda t} \sin (\omega_1 t + \Psi)\)
Les oscillations sont sinusoïdales amorties :
de pseudo-pulsation \(\omega_1\),
d'amplitude \(q_m(t)\) décroissante en fonction du temps suivant la loi :
\(q_m(t) = q_m ~e^{-\lambda t}\)
de phase initiale (à \(t = 0\)) \(\varphi\) ou \(\Psi\)
Les constantes qui interviennent dans les diverses expressions de \(q(t)\) sont explicitées dans la page suivante.