Expressions des constantes
La solution générale \(q(t)\) dépend de deux constantes :
\((A,B)\), \((A_c,B_c)\), \((C,D)\), \((q_m, \varphi)\) ou \((q_m, \Psi)\)
Elles sont déterminées à l'aide de deux relations. En général dans un problème physique ces relations caractérisent l'état du système à l'instant initial \(t = 0\), elles correspondent aux conditions initiales :
\(q(t = 0) = q_0~~\) et \(~~q'(t = 0) = q'_0\)
Les différentes constantes sont reliées entre elles par les relations suivantes :
\(C = A+B~~\) \(~~C = q_m \cos \varphi~~\) \(~~\Psi = \varphi + \frac{\pi}{2}\)
\(D = j(A- B)~~\) \(~~D = -q_m \sin \varphi\)
\(q_m = \sqrt{C^2 + D^2}~~\) \(~~\tan\varphi = - \frac{D}{C}\)
On calcule facilement les expressions des constantes en fonction de \(q_0\) et \(q'_0\).
On obtient pour les différents régimes les relations suivantes :
régime apériodique, \(\Delta' > 0\)
\(A = \frac{q'_0}{2 \sqrt{ \Delta'}} + \frac{q_0}{2\sqrt{ \Delta'}}(\sqrt{ \Delta'} + \lambda) ~~ \) \(\quad\) \(~~ B = -\frac{q'_0}{2 \sqrt{ \Delta'}} + \frac{q_0}{2 \sqrt{ \Delta'}} (\sqrt{ \Delta'} -\lambda)\)
\(A+ B = q_0 ~~ \) \(\qquad\) \(~~ A - B = \frac{q'_0 + \lambda ~ q_0}{\sqrt{ \Delta'}}\)
régime critique, \(\Delta' = 0\)
\(A_c = q'_0 + \lambda ~ q_0~~\) \(\quad\) \(~~B_c = q_0\)
régime pseudo-périodique, \(\Delta' < 0\)
\(C = q_0~~\) \(\qquad\) \(~~ D = \frac{q'_0 + \lambda ~ q_0}{\omega_1}\)
\(q_m = \sqrt{q_0^2 + \Big(\frac{q'_0 + \lambda ~q_0}{\omega_1}\Big)^2}~~~\) \(\quad\) \(~~\tan \varphi = -\frac{q'_0 + \lambda~q_0}{\omega_1 q_0}~\), (avec \(\cos \varphi\) du signe de \(q_0\))