Rayon le plus probable pour l'orbitale 2s
Durée : 20 mn
Note maximale : 1
Question
L'expression de l'orbitale 2s des ions hydrogénoïdes est donnée ci-dessous :
\(\Psi_{2s}(r,\theta,\varphi) = \frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\bigg(\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{3/2} \bigg(2-\frac{Z~r}{\textrm{a}_{0}}\bigg)\exp(-Z~r/2\textrm{a}_{0})\)
La densité radiale (ou densité de probabilité de présence sur une sphère de rayon r), dans cet état de symétrie sphérique, est donnée par l'expression :
\(D_{2s}(r) = 4~\pi~r^{2}\Psi_{2s}^{2}\)
Le rayon le plus probable dans un état quantique donné est défini comme le rayon de la sphère sur laquelle la densité radiale est maximale.
Déterminer ce rayon le plus probable en fonction de\(\textrm{a}_{0}\)et \(Z\) dans l'état 2s.
Solution
La densité radiale prend la forme suivante :
\(D_{2s}(r) = \frac{1}{8}\bigg(\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{3}\bigg(2 - \frac{Z~r}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{2}~r^{2}~\exp\big(-Z~r/\textrm{a}_{0}\big) = A \bigg(2 -\frac{Z~r}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{2}~r^{2}~\exp\big(-Z~r/\textrm{a}_{0}\big)\)
Il faut chercher le maximum de cette fonction.
\(\frac{ \partial D_{2s}}{ \partial r} = A~ \exp(-~Z~r/\textrm{a}_{0}) \bigg[-\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\bigg(2 -\frac{Z~r}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{2}~r^{2} + 4r\bigg(1 - \frac{Z~r}{\textrm{a}_{0}}\bigg)\bigg(2 -\frac{Z~r}{\textrm{a}_{0}}\bigg)\bigg]\)
\(\frac{ \partial D_{2s}}{ \partial r} = A ~r~\exp(-~Z~r/\textrm{a}_{0})\bigg(2 -\frac{Z~r}{\textrm{a}_{0}}\bigg)\bigg(4 - \frac{6~Z~r}{\textrm{a}_{0}} + \frac{Z^{2}~r^{2}}{\textrm{a}_{0}^{2}}\bigg)\)
Le polynôme a pour racines : \(r\pm = \frac{\textrm{a}_{0}}{Z}(3 \pm \sqrt{5} )\)
La dérivée s'annule pour\(r = 0\),\(r = 2\textrm{a}_{0} / Z\),\(r\pm = \frac{\textrm{a}_{0}}{Z}(3 \pm \sqrt{5} )\)et\(r = + \infty\).
La densité radiale s'annule en\(r = 0\),\(r = 2\textrm{a}_{0} / Z\)et à l'infini ; les deux maxima sont en\(r\pm = \frac{\textrm{a}_{0}}{Z}(3 \pm \sqrt{5} )\). La densité la plus grande est obtenue en \(r + = \frac{\textrm{a}_{0}}{Z}(3 +\sqrt{5} )\)qui correspond au rayon le plus probable dans l'état 2s.