Suites récurrentes, méthodes et exemples

a.

La fonction est la fonction ; pour que la suite soit définie il faut (et il suffit) que l'on ait .

  • Etude graphique

Le graphe et la première bissectrice se coupent au point d'abscisse .

Pour on constate un phénomène d'"escalier montant" : la suite est croissante, elle est convergente et a pour limite .

Pour la suite est stationnaire :

.

Pour on constate un phénomène d'"escalier descendant" : est décroissante, elle est convergente et a pour limite .

  • Etude théorique

L'intervalle est stable par est continue et croissante sur . Si la suite est monotone et si elle est convergente sa limite ne peut être que l'unique point fixe de la fonction , soit .

Par ailleurs les intervalles sont stables par , la condition entraîne donc, par une récurrence immédiate, pour tout entier ; de même la condition implique, pour tout entier .

En écrivant , on remarque que l'on a :

Donc si la suite est croissante, comme elle est majorée par elle est convergente, sa limite est .

Si la suite est décroissante, comme elle est minorée par elle est convergente, sa limite est .

Autre méthode : la fonction vérifie .

En appliquant la méthode du § 7.4. on a

.

D'où la conclusion.

On remarque, que cette méthode ne met pas en évidence la monotonie de la suite, mais en revanche montre la rapidité de la convergence . La suite converge au moins aussi vite qu'une suite géométrique de raison .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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