Suites récurrentes, méthodes et exemples

c. \(\left\{\begin{array}{ll}u_0=\frac{1}{2} &\textrm{ et}\\u_{n+1}=1-u_n^{2}\end{array}\right.\).

La fonction \(\phi\) est la fonction \(\displaystyle{x\mapsto1-x^2}\).

  • Étude graphique

Le graphe et la première bissectrice se coupent au point d'abscisse \(\displaystyle{\frac{\sqrt5-1}{2}}\).

On constate un phénomène de "spirale divergente" : la suite \((u_{2n})\) est décroissante, elle est convergente et a pour limite \(0\), la suite \((u_{2n+1})\) est croissante, elle est convergente et a pour limite \(1\).

Donc la suite \((u_n)\) est divergente.

  • Étude théorique

L'intervalle \(I = [0, 1]\) est stable par \(\phi\). Si la suite \((u_n)\) est convergente, sa limite ne peut être que l'unique point fixe de \(\phi\) sur \([0, 1]\), soit \(\displaystyle{\alpha=\frac{\sqrt5-1}{2}}\).

La fonction est décroissante sur \([0, 1]\), les suites sont donc monotones et de sens de monotonie contraires.

On a \(u_0<\alpha\textrm{ et }\phi(u_0)=u_1>\alpha\) d'où l'on déduit immédiatement, pour tout \(\displaystyle{n,u_{2n}<\textrm{ et }u_{2n+1}>\alpha}\) .

Par ailleurs \(\displaystyle{\phi\circ\phi(x)=x^2(2-x^2)}\) , la fonction \(\phi\circ\phi\) est croissante sur \([0, 1]\), elle admet 3 points fixes sur l'intervalle \(\displaystyle{[0,1] : 0, \frac{\sqrt5-1}{2},1}\).

On a \(\displaystyle{\phi\circ\phi(x)-x=x(1-x)(x^2+x-1)}\)

\(\displaystyle{\phi\circ\phi(x)-x<0\textrm{ sur }[0,\alpha]\textrm{ et }\phi\circ\phi(x)-x>0\textrm{ sur }[\alpha,1]}\)

la suite \((u_{2n})\) est donc décroissante et la suite \((u_{2n+1})\) croissante.

La suite \((u_{2n})\) est décroissante et minorée elle est convergente et a pour limite \(0\), la suite \((u_{2n+1})\) est croissante et majorée, elle est convergente et a pour limite \(1\).

La suite \((u_n)\) est donc divergente.