Suites récurrentes, méthodes et exemples

b. \(\left\{\begin{array}{ll}u_0=0,1 &\textrm{ et}\\u_{n+1}=\frac{1}{1+u_n}\end{array}\right.\)

La fonction \(\phi\) est la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{1+x}}\).

  • Etude graphique

Le graphe et la première bissectrice se coupent au point d'abscisse \(\displaystyle{\frac{\sqrt5-1}{2}}\).

On constate un phénomène de "spirale convergente" : la suite \((u_{2n})\) est croissante, la suite \((u_{2n+1})\) décroissante, ce sont des suites adjacentes, leur limite commune est \(\displaystyle{\frac{\sqrt5-1}{2}}\).

  • Etude théorique

L'intervalle \(I = [0, 1]\) est stable par \(\phi\) : tous les termes de la suite appartiennent donc à cet intervalle. Si la suite \((u_n)\) est convergente, sa limite ne peut être que l'unique point fixe de \(\phi\) sur \([0, 1]\), soit \(\displaystyle{\alpha=\frac{\sqrt5-1}{2}}\).

La fonction \(\phi\) étant décroissante sur\( [0, 1]\), les suites \((u_{2n}) \textrm{ et }(u_{2n+1})\) sont monotones de sens de monotonie contraires. On a, par hypothèse, \(u_0<\alpha\) , donc \(\phi(u_0)=u_1>\alpha\). D'où immédiatement, pour tout \(n,u_{2n}<\alpha\textrm{ et }u_{2n+1}>\alpha\) .

Par ailleurs \(\displaystyle{\phi\circ\phi(x)-x=\frac{1-x-x^2}{2+x}}\) d'où

\(\displaystyle{\phi\circ\phi(x)-x>0\textrm{ sur }[0,\alpha]\textrm{ et }\phi\circ\phi(x)-x<0\textrm{ sur }[\alpha,1]}\) .

La suite \((u_{2n})\) est donc croissante et majorée, elle est convergente ; la suite \((u_{2n+1})\) est décroissante minorée, elle est donc convergente.

Le seul point fixe de la fonction \(\phi\circ\phi\) appartenant à \([0, 1]\) étant \(\displaystyle{\frac{\sqrt5-1}{2}}\), les suites \((u_{2n}) \textrm{ et }(u_{2n+1})\) ont pour limite \(\displaystyle{\frac{\sqrt5-1}{2}}\) qui est également point fixe de \(\phi\).

La suite \((u_n)\) est convergente et a pour limite \(\displaystyle{\frac{\sqrt5-1}{2}}\).

Autre méthode: Compte tenu de l'égalité \(\displaystyle{\alpha=\frac{1}{1+\alpha}}\) , on a :

\(\displaystyle{u_{n+1}-\alpha=\frac{1}{1+u_n}-\frac{1}{1+\alpha}=\frac{\alpha-u_n}{(1-u_n)(1+\alpha)}}\).

 L'inégalité \(\displaystyle{1+\alpha>\frac{3}{2}}\) entraîne alors \(\displaystyle{\vert u_{n+1}-\alpha\vert<\frac{2}{3}\vert u_n-\alpha\vert}\) , d'où

\(\displaystyle{\vert u_{n+1}-\alpha\vert<\vert u_0-\alpha\vert\left(\frac{2}{3}\right)^n<0,2\left(\frac{2}{3}\right)^n}\).

Comme dans le cas précédent cette méthode ne met pas en évidence la monotonie de la suite, mais en revanche montre la rapidité de la convergence . La suite converge au moins aussi vite que la suite géométrique de raison \(\frac{2}{3}\).