Suites récurrentes, méthodes et exemples

b.

La fonction est la fonction .

  • Etude graphique

Le graphe et la première bissectrice se coupent au point d'abscisse .

On constate un phénomène de "spirale convergente" : la suite est croissante, la suite décroissante, ce sont des suites adjacentes, leur limite commune est .

  • Etude théorique

L'intervalle est stable par : tous les termes de la suite appartiennent donc à cet intervalle. Si la suite est convergente, sa limite ne peut être que l'unique point fixe de sur , soit .

La fonction étant décroissante sur , les suites sont monotones de sens de monotonie contraires. On a, par hypothèse, , donc . D'où immédiatement, pour tout .

Par ailleurs d'où

.

La suite est donc croissante et majorée, elle est convergente ; la suite est décroissante minorée, elle est donc convergente.

Le seul point fixe de la fonction appartenant à étant , les suites ont pour limite qui est également point fixe de .

La suite est convergente et a pour limite .

Autre méthode: Compte tenu de l'égalité , on a :

.

 L'inégalité entraîne alors , d'où

.

Comme dans le cas précédent cette méthode ne met pas en évidence la monotonie de la suite, mais en revanche montre la rapidité de la convergence . La suite converge au moins aussi vite que la suite géométrique de raison .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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