Problème de synthèse
Le test comporte 1 questions :
Problème
La durée indicative du test est de 40 minutes.
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Problème

Soit un réel strictement positif.

On pose pour tout et on définit la suite par la donnée de et la relation de récurrence .

  1. a) Montrer que

    b) En déduire que la suite (u_n) est décroissante à partir du rang 1. Montrer qu'elle est convergente et que .

  2. Le but de cette partie est de calculer une valeur approchée de en utilisant la suite et en estimant sa 'vitesse de convergence' vers . On suppose .

    a) Montrer que pour entier strictement positif, est défini. On pose pour entier strictement positif , . Montrer qu'il existe un entier tel que .

    b) Montrer que .

    c) En déduire que .

    d) Application : on prend et , vérifier que l'on peut prendre et trouver un entier tel que .

    On rappelle que et .

    e) Dans un sujet de concours, la majoration du c) était remplacée .

    Qu'en pensez-vous ?

    f) On suppose que montrer qu'on a les relations puis . Si on se sert de pour calculer des approximations décimales de , que veulent dire ces inégalités ?

    g) Que faire si ?

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Problème

1.

a)

ce qui montre la première inégalité.

donc

ce qui prouve la deuxième inégalité.

[3 points]

b) La propriété se démontre par récurrence :

  • par a) donc est vraie.

  • supposons vraie : , alors

    et est vraie donc la propriété est vraie pour tout .

La deuxième inégalité de a) montre alors que donc la suite est décroissante à partir du rang 1. Elle est minorée (à partir du rang 1) par , donc elle est convergente.

Soit , la fonction qui définit la récurrence est continue sur , on a alors

, on en déduit c'est à dire d'où .

[3 points]

2)

a) Comme , et par récurrence et d'après le 1a) donc est défini. Comme tend vers 0, tend vers et il existe un entier tel que .

[2 points]

b)

puisque .

[2 points]

c)

En faisant la somme de ces inégalités, chacune multipliée par la puissance de 2 indiquée à droite et en simplifiant les termes en on obtient

[2 points]

d) Si et , on a . On peut donner une approximation numérique : ou bien le montrer sans aide technique :

Ecrivons la majoration du c) avec :

Il suffit donc de trouver tel que ou .

Compte tenu des données numériques de l'énoncé, il suffit que

ne convient pas mais convient .

[2 points]

e) Cette majoration est correcte -c'est d'ailleurs celle utilisée dans le cas particulier du d)- mais elle présente un inconvénient si : on majore la suite (qui tend vers ) par une suite constante ou une suite qui tend vers . Ce n'est pas une majoration efficace.

[1 point]

f) Majorant par 0 on obtient puis .

Cela veut dire que , cela peut se traduire en disant que le nombre de décimales exactes double à chaque itération.

Commentaire : on dit que la convergence est biquadratique, c'est une convergence très rapide.

[2 points]

g) Remarquons que la suite est décroissante. On va choisir pour que . L'inégalité du b) peut s'écrire (en tenant compte de la décroissance)

et on a encore une convergence géométrique vers 0 de la suite .

Remarque

Cet algorithme est un cas particulier de l'algorithme de Newton de recherche de zéro d'une fonction.

[2 points]

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Bilan
Nombre de questions :1
Score obtenu :/20
Seuil critique :14
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :40 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
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