Suites incontournables
Le test comporte 5 questions :
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
La durée indicative du test est de 28 minutes.
Commencer
Exercice 1

Soit la suite définie par :

  1. Montrer que la suite est minorée et n'est pas majorée.

  2. Montrer que la suite n'est pas monotone. Les suites extraites et définies par et sont-elles monotones ?

  3. La suite converge-t-elle ?

Exercice 2

Soit une suite telle que :

Montrer que : .

Exercice 3

Soit une suite à valeurs entières, montrer que si est convergente, est stationnaire.

Exercice 4

Montrer que la suite définie par et la relation de récurrence : pour tout entier positif ou nul est convergente. Déterminer sa limite.

Exercice 5

Etudier la nature de la suite définie par la donnée de et la relation de récurrence, pour tout entier positif ou nul .

Discuter selon la valeur de .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Exercice 1
  1. Pour tout entier , est supérieur ou égal à -1 (on vérifie les cas pair et impair séparément) donc est minorée. est archimédien donc

    et a fortiori c'est à dire donc n'est pas majorée.

    [2 points]

  2. On a :

    donc n'est pas monotone,

    donc est croissante,

    donc est croissante.

    Commentaire : les deux suites extraites sont croissantes et pourtant n'est pas croissante.

    [2 points]

  3. La suite n'est pas majorée donc elle ne converge pas.

    [1 point]

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5
Exercice 2

ce qui peut s'écrire

Prenons , il existe tel que pour tout entier supérieur ou égal à on ait . Donc est négatif et et .

[2 points]

0
1
2
Exercice 3

La suite est convergente, notons sa limite :

Prenons , l'intervalle est de longueur inférieure à 1, il contient au plus un entier et il en contient un : .

On en déduit que : et la suite est stationnaire.

[2 points]

0
1
2
Exercice 4

On montre par récurrence sur que la suite est bien définie et que pour tout entier , .

[1 point]

  • Les fonctions carré, logarithme et racine carrée sont croissantes donc l'est aussi : est du signe de et par récurrence du signe de

    La suite est donc décroissante.

    [2 points]

  • Une suite décroissante minorée est convergente donc est convergente.

    [1 point]

  • Soit sa limite, la fonction étant continue (composée de fonctions continues), on a , ce qui implique que . Cette équation admet pour racine positive (ou nulle) et c'est la seule car la fonction est croissante pour .

    [2 points]

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Exercice 5
  • La suite est décroissante puisque est positif ou nul.

    [1 point]

  • La fonction a un unique point fixe 0, qui est la seule limite possible de la suite.

    [1 point]

  • Une suite décroissante est convergente ou bien tend vers .

    • Si , la suite (décroissante) ne peut être convergente vers 0, donc tend vers .

      [2 points]

    • Si , on a et on est ramené au cas précédent : tend vers .

      [1 point]

    • Si ou , tous les termes suivants sont nuls et la suite converge vers 0.

      [1 point]

    • Si , l'étude de la fonction montre que , on en déduit par récurrence que .

      La suite est décroissante, minorée par 0 donc elle converge. La limite est le point fixe de : 0.

      [2 points]

Remarque

Ce n'est pas obligatoire mais ce peut être utile de tracer le graphe de la fonction

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Bilan
Nombre de questions :5
Score obtenu :/22
Seuil critique :15
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :28 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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