Exercice 1

Durée : 6 mn

Note maximale : 5

Question

Soit \(u=(u_n)\) la suite définie par :

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{cc}u_n=n&\textrm{si }n\textrm{ est pair}\\u_n=-\displaystyle{\frac{1}{n}}&\textrm{si }n\textrm{ est impair}\end{array}\right.}\)

  1. Montrer que la suite \(u\) est minorée et n'est pas majorée.

  2. Montrer que la suite \(u\) n'est pas monotone. Les suites extraites \(v\) et \(w\) définies par \(v_n=u_{2n}\) et \(w_n = u_{2n+1}\) sont-elles monotones ?

  3. La suite \(u\) converge-t-elle ?

Solution

  1. Pour tout entier \(n\), \(u_n\) est supérieur ou égal à -1 (on vérifie les cas \(n\) pair et \(n\) impair séparément) donc \(u\) est minorée. \(\mathbb R\) est archimédien donc

    \(\forall M\in\mathbb R,~\exists q\in\mathbb N : M<q\)

    et a fortiori \(M<2q\) c'est à dire \(M<u_{2q}\) donc \(u\) n'est pas majorée.

    [2 points]

  2. On a :

    \(\forall p\ge0 :~u_{2p}>u_{2p+1},~u_{2p+1}<u_{2p+2}\) donc \(u\) n'est pas monotone,

    \(\forall p\ge0 :~v_p=u_{2p}=2p\) donc \(v\) est croissante,

    \(\displaystyle{\forall p\ge0 :~w_p=u_{2p+1}=-\frac{1}{2p+1}}\) donc \(w\) est croissante.

    Commentaire : les deux suites extraites sont croissantes et pourtant \(u\) n'est pas croissante.

    [2 points]

  3. La suite \(u\) n'est pas majorée donc elle ne converge pas.

    [1 point]