Annales virtuelles
Le test comporte 5 questions :
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
La durée indicative du test est de 47 minutes.
Commencer
Exercice 1

Etudier la suite définie par la donnée de irrationnel et la relation de récurrence, pour tout entier positif ou nul .

Indication : utiliser la suite définie par .

Exercice 2

On considère la suite définie par la donnée de et la relation : pour tout entier positif ou nul .

  1. Montrer que cette suite est convergente.

  2. Montrer par récurrence sur que

  3. Montrer que tend vers 1 quand tend vers l'infini.

    Indication : majorer puis pour obtenir une minoration de .

Exercice 3

On considère les suites et définies par et les relations .

  1. Montrer l'existence des deux suites.

  2. Déterminer les limites éventuelles.

  3. Montrer qu'il existe un réel k>1 tel que, pour tout entier n>0,

    et

  4. Conclure.

Exercice 4

Soit une suite périodique de période (cela veut dire que pour tout entier on a ).

Montrer que

Exercice 5

Soient (u_n) et (v_n) deux suites strictement monotones , on suppose que

  1. Montrer que les deux suites sont, à partir d'un certain rang, soit toutes les deux croissantes, soit toutes les deux décroissantes.

  2. On suppose désormais les deux suites croissantes. Montrer que pour tout positif , il existe un entier tel que :

  3. Montrer que les deux suites considérées sont de même nature.

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Exercice 1

C'est une récurrence homographique.

Cherchons les points fixes de l'homographie. On a les équivalences

.

Donc il y a un seul point fixe.

D'autre part si est irrationnel, n'est pas nul : est défini. De plus est aussi irrationnel. On en déduit par récurrence que la suite est bien définie.

[2 points]

Posons alors , on a

Une récurrence immédiate montre alors que . On en déduit que tend vers l'infini et que tend vers 2.

[2 points]

0
1
2
3
4
Exercice 2
  1. Si est défini et positif, l'est aussi, on en déduit par récurrence que la suite est bien définie et que tous les termes sont positifs. Il est clair alors que . La suite est décroissante minorée donc convergente.

    Attention : ce n'est pas une suite du type .

    [1 point]

  2. , donc .

    Admettons la propriété à l'ordre et montrons que . La fonction est croissante sur (calculer sa dérivée pour le vérifier), on en déduit que et la propriété s'en déduit par récurrence. Il est alors clair que la limite est 0.

    [3 points]

  3. Comme les termes sont non nuls, la formule de récurrence s'écrit compte tenu de 2. . En sommant les inégalités obtenues de à , on obtient et en multipliant par : .

    Le terme , encadré par deux quantités qui tendent vers 1, tend vers 1.

    [3 points]

0
1
2
3
4
5
6
7
8
Exercice 3

1. Sur l'intervalle la fonction est définie, décroissante à valeurs dans et la fonction est définie, croissante à valeurs dans .

On en déduit par récurrence sur que pour tout et et les suites sont bien définies.

[3 points]

2. Si admet pour limite et pour limite , les fonctions et étant continues, on a les égalités et ce qui implique et .

Soustrayant, on obtient . Comme et sont positifs, on ne peut avoir , on a donc et reportant on obtient et .

[2 points]

3. (multiplication par la quantité conjuguée) et

et finalement

On en déduit par récurrence que et

[3 points]

4. Les suites extraites de rang pair et de rang impair conve rgent donc vers la même limite : . La suite converge elle aussi vers . Et comme , la suite converge vers .

[2 points]

0
1
2
3
4
5
6
7
8
Exercice 4

Pour tout positif, il existe (division euclidienne) deux entiers et tels que et .

On a alors

Quand tend vers l'infini, tend vers , le premier terme tend vers et le second , égal à tend vers 0 car il y a au plus termes donc .

[3 points]

0
1
2
3
Exercice 5
  1. La limite a étant strictement positive, à partir d'un certain rang , le rapport des différences entre deux termes consécutifs de chacune des suites est positif donc ces différences ont le même signe et les deux suites sont, à partir de , toutes les deux croissantes ou toutes les deux décroissantes.

    [1 point]

  2. Soit positif donné, il existe tel que :

    Donc

    Et en sommant ces inégalités de à , il vient le résultat

    [4 points]

  3. On a,

    Si est convergente, elle est majorée par un réel et croissante et majorée par est aussi convergente.

    Si n'est pas convergente, comme elle est strictement croissante, elle tend vers l'infini et aussi.

    [3 points]

0
1
2
3
4
5
6
7
8
Bilan
Nombre de questions :5
Score obtenu :/31
Seuil critique :21
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :47 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)