Exercice 1

Durée : 6 mn

Note maximale : 4

Question

Etudier la suite \((u_n)\) définie par la donnée de \(u_0\) irrationnel et la relation de récurrence, pour tout entier \(n\) positif ou nul \(\displaystyle{u_{n+1}=\frac{7u_n-12}{3u_n-5}}\).

Indication : utiliser la suite définie par \(\displaystyle{v_n=\frac{1}{u_n-2}}\).

Solution

C'est une récurrence homographique.

Cherchons les points fixes de l'homographie. On a les équivalences

\(\displaystyle{x=\frac{7x-12}{3x-5}\Leftrightarrow3(x^2-4x+4)=0\Leftrightarrow x=2}\).

Donc il y a un seul point fixe.

D'autre part si \(u_n\) est irrationnel, \(3u_n-5\) n'est pas nul : \(u_{n+1}\) est défini. De plus \(u_{n+1}\) est aussi irrationnel. On en déduit par récurrence que la suite est bien définie.

[2 points]

Posons alors \(\displaystyle{v_n=\frac{1}{u_n-2}}\), on a \(\displaystyle{v_{n+1}=\frac{1}{\frac{7u_n-12}{3u_n-3}-2}=\frac{3u_n-5}{u_n-2}=3+v_n}\)

Une récurrence immédiate montre alors que \(v_n=3n+v_0\). On en déduit que \(v_n\) tend vers l'infini et que \(u_n\) tend vers 2.

[2 points]