Exercice 3
Durée : 14 mn
Note maximale : 8
Question
On considère les suites \(u\) et \(v\) définies par \(u_0=v_0=0\) et les relations \(u_{n+1}=\sqrt{7-v_n},~ v_{n+1}=\sqrt{7+u_n}\).
Montrer l'existence des deux suites.
Déterminer les limites éventuelles.
Montrer qu'il existe un réel k>1 tel que, pour tout entier n>0,
\(\displaystyle{|u_{2n}-2|<\frac{1}{k^n}|u_0-2|}\) et \(\displaystyle{|u_{2n+1}-2|<\frac{1}{k^n}|u_1-2|}\)
Conclure.
Solution
1. Sur l'intervalle \([0,7]\) la fonction \(f : x\mapsto\sqrt{7-x}\) est définie, décroissante à valeurs dans \(\displaystyle{\left[0,\sqrt{7}\right]\subset[0,4]}\) et la fonction \(g : x\mapsto\sqrt{7+x}\) est définie, croissante à valeurs dans \([\sqrt{7},\sqrt{14}]\subset[0,4]\).
On en déduit par récurrence sur \(n\) que pour tout \(n>0,~0<u_n<4\) et \(0<v_n<4\) et les suites sont bien définies.
[3 points]
2. Si \(u\) admet pour limite \(a\) et \(v\) pour limite \(b\), les fonctions \(f\) et \(g\) étant continues, on a les égalités \(a=f(b)\) et \(b=g(a)\) ce qui implique \(a^2=7-b\) et \(b^2=7+a\).
Soustrayant, on obtient \(b^2-a^2=(a+b)(b-a)=a+b\). Comme \(a\) et \(b\) sont positifs, on ne peut avoir \(a+b=0\), on a donc \(b-a=1\) et reportant on obtient \(a=2\) et \(b=3\).
[2 points]
3. \(\displaystyle{|u_n-2|=|\sqrt{7-v_{n-1}}-2|=\frac{|7-v_{n-1}-4|}{\sqrt{7-v_{n-1}}+2}<\frac{|3-v_{n-1}|}{2}}\) (multiplication par la quantité conjuguée) et \(\displaystyle{|3-v_{n-1}|=|3-\sqrt{7+u_{n-2}}|=\left|\frac{9-7-u_{n-2}}{3+\sqrt{7+u_{n-2}}}\right|<\left|\frac{2-u_{n-2}}{3}\right|}\)
et finalement \(\displaystyle{\left|u_n-2\right|<\left|\frac{2-u_{n-2}}{6}\right|}\)
On en déduit par récurrence que \(\displaystyle{|u_{2n}-2|<\frac{1}{6^n}|u_0-2|}\) et \(\displaystyle{|u_{2n+1}-2|<\frac{1}{6^n}|u_1-2|}\)
[3 points]
4. Les suites extraites de rang pair et de rang impair conve\(\)rgent donc vers la même limite : \(2\). La suite \((u_n)\) converge elle aussi vers \(2\). Et comme \(v_{n+1}=\sqrt{7+u_n}\), la suite \((v_n)\) converge vers \(3\).
[2 points]