Exercice 3
Partie
Question
1. Soit \(u=(u_n)\) une suite réelle, montrer que si les suites \((u_{2n}),(u_{2n+1}) \,~et~\, (u_{3n})\) sont convergentes, il en est de même pour u.
Aide simple
Utiliser \(u_{3n}\) pour montrer que \(u_{2n}\) et \(u_{2n+1}\) convergent vers la même limite et conclure en citant un théorème du cours.
Solution détaillée
Soient L, L' et L'' les limites respectives de\( (u_{2n})\,,\,(u_{2n+1}) \,~et \,~(u_{3n})\) . La suite \(u_{6n}\) est une suite extraite de \(u_{2n}\) donc converge vers L, c'est une suite extraite de \(u_{3n}\) donc elle converge vers L'', par unicité de la limite L=L''. En utilisant la suite \((u_{6n+3})\) extraite de \(u_{2n+1}\) et \(u_{3n}\) , on montre que L'=L'' d'où L=L'.
D'après un théorème du cours, si les suites extraites de rang pair et de rang impair d'une suite u convergent vers la même limite L, alors u est convergente, vers L.
Question
2. La même propriété est-elle vraie avec les suites \((u_{3n}), \,(u_{3n+1}) ~\, et ~\, (u_{3n+2})\,?\)
Aide simple
Donner un contrexemple simple (suite périodique).
Solution détaillée
Non
Prenons la suite u définie pour tout entier n par
\(u_{3n}=0, \,u_{3n+1}=1,~\, u_{3n+2}=2\)
Elle vérifie les hypothèses de l'énoncé, mais les trois limites sont différentes et u n'est pas convergente.
Commentaire :
La différence entre les deux cas vient de ce que :
quand on dit qu'un entier est du type 3n, 3n+1, ou 3n+2, le 'ou' est exclusif , c'est à dire qu'un entier ne peut pas être de deux types à la fois, donc on peut définir les suites \((u_{3n}) , \, (u_{3n+1}) \,~et\,~ (u_{3n+2})\) indépendamment, ce qui fait que \((u_{n})\) n'a aucune raison d'être convergente
alors que parmi les entiers pairs il y en a une infinité de multiples de 3 (les multiples de 6) et que parmi les impairs il y en a aussi une infinité de multiples de 3 (les 6n+3), ce qui permet de lier les deux suites extraites.. On aurait pu remplacer \((u_{3n})\) convergente par \((u_{7n})\) ou \((u_{15n}).\)