Exercice 5

Partie

On considère la suite \(u=(u_n)\) définie par \(u_0=2\) et la relation de récurrence \(n \ge 0, u_{n+1}=\frac {8+5u_n}{3+u_n}.\)

Question

1. Montrer que tous les termes sont strictement positifs.

Solution détaillée

Si un terme est positif, le suivant est bien défini et positif. Une récurrence montre que tous les termes sont positifs.

Question

2. Déterminer les racines de l'équation \(x=\frac {8+5x}{3+x}.\)

Solution détaillée

\(x=\frac {8+5x}{3+x}\) si et seulement si \(x (3+x)=8+5x, ~x \neq -3\)

soit \(x^2-2x-8=0, x \neq -3\)

soit \(x=4 ~~ou~~ x=-2.\)

Question

3. Soit \(v=(v_n)\) la suite définie par \(v_n=\frac {u_n - 4}{u_n + 2},\) calculer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n.\)

Solution détaillée

\(v_{n+1}=\frac {\frac {8+5u_n}{3+u_n}-4}{\frac {8+5u_n}{3+u_n}+2}=\frac{u_n-4}{7u_n+14}=\frac{1}{7}v_n\)

Question

4.Montrer que la suite u est convergente et donner sa limite.

Solution détaillée

Une récurrence immédiate montre que \(v_n=\frac{1}{7^n}v_0\) , avec \(v_0=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}.\)On en déduit que \(v\) est convergente de limite 0 et comme \(u_n=\frac{4+2v_n}{1-v_n}\) ( v étant à valeurs négatives ne prend pas la valeur 1), u est convergente de limite 4.

Une telle suite est dite homographique et la façon de l'étudier est classique, à noter dans vos tablettes !