Introduction
Un des points essentiels du chapitre est de mettre en évidence les conséquences de la continuité sur l'image d'un intervalle par une fonction.
Définition : Continuité
La notion de continuité globale correspond à une définition point par point ; il s'agit plus d'étendre une notion du local vers le global que d'introduire un concept réellement nouveau. En revanche, la continuité uniforme sur un intervalle et la condition de Lipschitz sont des notions intrinsèquement globales.
On constate que l'image d'un intervalle par une fonction peut être très diverse :
Exemple : Exemple 1
On considère les trois fonctions définies par \(x \mapsto x²\) sur les trois intervalles \([-1,1], ]-1,1], ]-1,1[\).
Exemple : Exemple 2
On considère les trois fonctions définies par \(x\mapsto\mathcal E(x)\) sur les trois intervalles \([-1,1], ]-1,1], ]-1,1[\).
Ainsi, l'image d'un intervalle par une fonction :
n'est pas nécessairement un intervalle
lorsque c'est un intervalle, le caractère ouvert, fermé, semi-ouvert n'est pas nécessairement conservé.
La continuité va remettre de l'ordre dans tout cela, l'image d'un intervalle sera toujours un intervalle et le rôle des intervalles fermés bornés sera mis en valeur.
Dans tout le chapitre on désignera par \(\mathcal I\) un intervalle de \(\mathbf R\) non vide ni réduit à un point et \(f\) une application de \(\mathcal I\) dans \(\mathbf R\).