Théorèmes algébriques
Théorème :
Si \(f\) et \(g\) sont continues sur\( \mathcal I\); alors \(f+g, fg\) et, si \(g\) ne s'annule pas sur \(\mathcal I,f/g\) sont continues sur \(\mathcal I\).
Preuve :
Application immédiate des théorèmes algébriques relatifs aux fonctions continues en un point.
On déduit de ce théorème que l'ensemble \(\mathcal C(\mathcal I,\mathbf R)\) des applications continues de \(\mathcal I\) dans \(\mathbf R\) est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel \(\mathcal F(\mathcal I,\mathbf R)\).
On en déduit également les propriétés suivantes concernant des fonctions classiques :
les fonctions polynomiales : \(x\mapsto\mathcal P(x),\mathcal P\in\mathbf R[x]\) sont continues sur \(\mathbf R\) ;
les fonctions rationnelles \(\displaystyle{x\mapsto\frac{\mathcal P(x)}{\mathcal Q(x)},\mathcal P\in\mathbf R[\mathcal X],\mathcal Q\in\mathbf R[\mathcal X]}\) sont continues sur tout intervalle qui ne contient pas un zéro de \(\mathcal Q\);
la fonction tangente est continue sur tout intervalle \(\displaystyle{\left](2k-1)\frac{\pi}{2},(2k+1)\frac{\pi}{2}\right[,(k\in\mathbf Z)}\).
Théorème : Théorème de composition
Soient \(\mathcal I\) et \(\mathcal J\) deux intervalles de \(\mathbf R, f\) une application de \(\mathcal I\) dans \(\mathbf R\) et \(g\) une application de \(\mathcal J\) dans \(\mathbf R\) telles que \(f(\mathcal I)\subset\mathcal J\). Si\(f\) est continue sur \(\mathcal I\) et \(g\) continue sur \(\mathcal J\), alors \(g \circ f\) est continue sur \(\mathcal I\) .
Preuve :
Application du théorème relatif à la continuité en un point
Remarque :
Ces deux théorèmes permettent souvent de conclure à la continuité d'une fonction dans son ensemble de définition, à l'exception éventuelle de quelques points pour lesquels on doit faire une étude directe locale. C'est le cas, à l'origine, de la fonction plusieurs fois rencontrée :
\(\displaystyle{\forall x\neq0f(x)=x\sin\left(\frac{1}{x}\right),f(0)=0}\)