Mathématiques
Précédent
Suivant
Théorèmes algébriques
Théorème

Si et sont continues sur ; alors et, si ne s'annule pas sur sont continues sur .

Preuve

Application immédiate des théorèmes algébriques relatifs aux fonctions continues en un point.

On déduit de ce théorème que l'ensemble des applications continues de dans est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel .

On en déduit également les propriétés suivantes concernant des fonctions classiques :

  • les fonctions polynomiales : sont continues sur ;

  • les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle qui ne contient pas un zéro de ;

  • la fonction tangente est continue sur tout intervalle .

Théorème : Théorème de composition

Soient et deux intervalles de une application de dans et une application de dans telles que . Si est continue sur et continue sur , alors est continue sur .

Preuve

Application du théorème relatif à la continuité en un point

Remarque

Ces deux théorèmes permettent souvent de conclure à la continuité d'une fonction dans son ensemble de définition, à l'exception éventuelle de quelques points pour lesquels on doit faire une étude directe locale. C'est le cas, à l'origine, de la fonction plusieurs fois rencontrée :

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)