Définition
Définition :
On dit que la fonction \(f\) est continue sur \(\mathcal I\) si \(f\) est continue en tout point de \(\mathcal I\).
Cette définition exprime que, pour tout point \(x_0\) de \(\mathcal I, f(x)\) est voisin de \(f(x_0)\) quand \(x\) est voisin de \(x_0\) . Plus précisément : pour tout point\( x_0\) et tout voisinage \(\mathcal V(f(x_0))\) il existe un voisinage \(\mathcal V(x_0)\) tel que, si \(x\) appartient à \(\mathcal V(x_0),f(x)\) appartient à \(\mathcal V(f(x_0))\).
Soit en langage formalisé :
\(\displaystyle{\forall x_0\in\mathcal I,\forall\epsilon>0,\exists\eta>0,\forall x\in\mathcal I(\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert f(x)-f(x_0)\vert<\epsilon)}\)
Remarque :
On remarque que la phrase en langage parlé ou formalisé commence par : pour tout point \(x_0\in\mathcal I\), en conséquence le réel \(\eta\) dépend de \(\epsilon\) et de \(x_0\in\mathcal I\).
Complément : Interprétation graphique
Interprétation graphique : le graphe \(\{(x,f(x))\}\) est un arc continu (c'est-à-dire qu'on peut tracer sans lever le crayon, sans "saut").
Exemple de fonction continue :
Exemple de fonction NON continue :
