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Image d'un intervalle fermé, borné
Théorème

L'image d'un intervalle fermé, borné par une fonction continue est un intervalle fermé, borné.

Preuve

On considère un intervalle fermé borné et une application continue de dans .

On étudie l'image et on montre successivement les points suivants :

Première étape : est une partie bornée de ,

Démonstration par l’absurde : on suppose non majorée, c'est-à-dire : .

On prend pour successivement tous les termes d’une suite qui tend vers l’infini, ici la suite des entiers :

On a ainsi défini une suite d'éléments de ; d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass on peut en extraire une suite convergente dont la limite appartient à l’intervalle et puisque est continue, .

D'autre part, on a : ,

donc quand ce qui est en contradiction avec .

L'image est donc majorée, on montre de même qu’elle est minorée.

Deuxième étape :

a un plus grand et un plus petit élément

L’image étant bornée, elle admet une borne supérieure . On a donc : .

On prend pour tous les termes d’une suite qui tend vers 0, ici la suite :

De la suite ainsi formée on extrait, en appliquant encore une fois le théorème de Bolzano-Weierstrass une suite, que l’on note , convergente, dont la limite appartient à .

La fonction étant continue en particulier en on a :

La valeur est donc atteinte par la fonction sur l’intervalle ; il en est de même pour la borne inférieure . On a donc et avec et .

Troisième étape :

On a les inclusions . D'où .

La démonstration repose sur deux théorèmes :

  • le théorème de Bolzano-Weierstrass qui permet, l'intervalle étant fermé, borné, d'extraire de toute suite d'éléments de une suite convergente,

  • le théorème qui lie continuité d'une fonction en un point et convergence des suites images , pour toutes les suites qui convergent vers ce point.

Remarque

Cette propriété est une propriété des fonctions continues, on peut considérer aussi que c'est une propriété des intervalles fermés bornés comme dans le cas du théorème de Bolzano-Weierstrass ; un intervalle fermé borné est tel que :

  • toute suite d'éléments de cet intervalle admet une suite extraite convergente,

  • l'image de cet intervalle par toute fonction continue est un intervalle fermé, borné.

Légende :
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