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Image d'un intervalle par une fonction continue

On a vu dans l'introduction que l'image d'un intervalle par une fonction non continue comme la fonction partie entière (notée ) n'est pas nécessairement un intervalle ainsi : . Pour une fonction continue la situation est plus simple.

Théorème

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Preuve

On doit montrer qu'étant donné deux points et appartenant à , l'intervalle d'extrémités et est inclus dans . Cette démonstration repose sur le théorème des valeurs intermédiaires.

Preuve

Soit une fonction continue sur un intervalle .

Soient .

Il existe tel que et .

On suppose, par exemple, .

D'après le théorème des valeurs intermédiaires on a l'inclusion :

Mais on a aussi , car est un intervalle , donc , d'où finalement :

.

L'image est donc un intervalle.

Remarque : Remarque fondamentale

Les caractères : ouvert, semi-ouvert, borné ne sont pas conservés par continuité.

En revanche le caractère fermé et borné se conserve par une fonction continue, ceci est l'objet du très important théorème suivant.

Exemple : Exemple 1

L'image par la fonction continue cosinus de l'intervalle ouvert est l'intervalle semi-ouvert , l'image de l'intervalle semi-ouvert est l'intervalle fermé .

Exemple : Exemple 2

L'image par la fonction de l'intervalle borné est .

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