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Théorème des valeurs intermédiaires
Problème préliminaire

Les fonctions continues sur un intervalle fermé borné ont des propriétés remarquables : en particulier on peut établir, sous certaines conditions, un théorème d'existence des solutions de l'équation , ainsi qu'un processus permettant d'approcher ses solutions.

On considère une application d'un intervalle dans ; on suppose , on cherche à répondre aux questions suivantes :

- l'équation , admet-elle des solutions sur ?

- si oui comment les approcher ?

Théorème

Soit une fonction continue sur un intervalle fermé, borné ; si la condition est vérifiée alors l'équation a au moins une solution sur .

Méthode : Méthode de la preuve

Etape a :

On suppose et on considère le point qui appartient à l’intervalle .

On pose :

  • si , et

  • si , et .

On a ainsi défini un intervalle tel que :

  • ,

On recommence la même opération avec l’intervalle et ainsi de suite. On construit ainsi par récurrence une suite d'intervalles emboîtés.

On suppose donc qu’on a déterminé, pour tout entier , un intervalle tel que :

  • (i)

  • (ii)

  • (iii)

On considère le point et on pose :

  • si et

  • si et

Remarque : si pour un rang on a est solution de l'équation .

Étape b :

On vérifie immédiatement que les conditions (i), (ii),et (iii) sont vérifiées au rang . On a ainsi construit deux suites et vérifiant les conditions suivantes :

  • la suite est croissante et la suite est décroissante,

  • , d'où

Les suites et sont adjacentes, elles ont une limite commune qui vérifie .

Étape c :

Les inégalités :

ont pour conséquence, si la fonction est continue en , (propriété de prolongement des inégalités). On a établi un théorème d'existence et construit un processus d'encadrement des solutions par des suites adjacentes.

Exemple

On se propose de localiser une racine (réelle) de l'équation

.

On considère, pour cela, la fonction , qui est continue sur .

Le calcul des valeurs prises par la fonction pour des valeurs simples de la variable permet, grâce au théorème précédent, une première localisation. On a en effet et . On est assuré qu'il y a, au moins, une racine entre et .

Théorème : Théorème des valeurs intermédiaires

Soit une fonction continue sur un intervalle fermé, borné ;

alors prend toute valeur comprise entre et .

Preuve

Soit un réel compris entre et . La fonction définie sur par , est continue sur et vérifie ; il existe donc un point de tel que d'où .

Légende :
Apprendre
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S'exercer
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