Fonction réciproque d'une fonction injective continue sur un intervalle : définitions

Dans la théorie des ensembles, lorsqu'on considère une application bijective d'un ensemble sur un ensemble on prouve l'existence d'une application de dans notée et appelée application réciproque de vérifiant les propriétés suivantes :

qui peuvent se schématiser par :

On ne s'intéresse ici qu'aux fonctions numériques définies sur un intervalle non vide et non réduit à un point de

Toute fonction numérique définie sur un intervalle est une surjection de sur

Comme l'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle, en introduisant une propriété de continuité sur la fonction on assure que est un intervalle.

La fonction admet une application réciproque définie sur l'intervalle si et seulement si elle est bijective de sur donc si et seulement si elle est injective sur

D'où les définitions :

Définition

Une fonction numérique continue injective sur un intervalle de définit une bijection de sur l'intervalle ; elle admet donc une application réciproque définie sur appelée fonction réciproque de

On dit que admet une fonction réciproque.

On est donc conduit à caractériser les fonctions continues injectives sur un intervalle.

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