Description de l'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone

On sait déjà que l'image d'un intervalle \(I\) par une fonction continue \(f\) est un intervalle ; cependant lorsque de plus la fonction \(f\) est strictement monotone, on peut préciser l'intervalle \(f(I).\)

Propositionnature de l'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone

Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I.\)

Si \(a~\textrm{et}~b\) désignent les extrémités de l'intervalle \(I\) (c'est-à-dire \(a~\textrm{ou}~b\) sont des réels ou sont les symboles \(-\infty~\textrm{ou}~+\infty\)) alors les extrémités de l'intervalle \(f(I)\)sont \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(a)~\textrm{et}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow b}f(x)\) (ces limites pouvant être elles-mêmes infinies).

De plus les intervalles \(I~\textrm{et}~f(I)\) sont de même nature : fermés, ouverts, ou semi-ouverts.

Remarque

Puisque \(f\) est continue sur \(I,\) si l'une des bornes, par exemple \(a,\) appartient à \(I,\) alors \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)\)

Démonstration

La démonstration de la proposition n'est faite que dans les trois cas suivants :

  • Cas où \(f\) est croissante et \(I = [a, b],\) on trouve \(f([a, b]) = [f(a), f(b)].\)

    En effet, d'une part, comme \(f(I)\) est un intervalle, on a \([f(a), f(b)] \subset f(I).\)

    D'autre part, tout élément de \(f(I)\) est l'image d'un élément \(x~\textrm{de}~I.\)

    Or \((a \leq x \leq b) \Rightarrow (f(a) \leq f(x) \leq f(b))\)donc \(f(I) \subset [f(a), f(b)],\)

    d'où l'égalité \(f([a, b]) = [f(a), f(b)].\)

  • Cas où \(f\) est croissante et \(I = [a, b[,\) alors \(f([a, b[) = [f(a), \displaystyle \lim_{x\rightarrow b^-}f(x)[.\)

    Nature de l'image d'un intervalle semi-ouvert borné

  • Cas où \(f\) est croissante et \(I =[a, +\infty[,\) alors \(f([a, +\infty[) = [f(a), \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)[.\)

    Nature de l'image d'un intervalle non majoré

Les démonstrations des autres cas peuvent être obtenues à partir des précédentes en utilisant diverses techniques.

Diverses techniques

- Le cas "\(f\) est croissante et \(I = ]a, b]\)" se traite en suivant la même démarche que dans le cas "\(f\) est croissante et \(I = [a, b[\)".

- Le cas "\(f\) est croissante et \(I = ]-\infty, b]\)" se traite en suivant la même démarche que dans le cas "\(f\) est croissante et \(I = [a, +\infty[\)".

- Dans tous les autres cas d'intervalle \(I\) sur lequel \(f\) est croissante, l'intervalle \(I\) est la réunion de deux intervalles de type précédent :

par exemple si \(I = ]-\infty, b[\)alors \(I = ]-\infty, a] \bigcup [a, b[,\)\(a\) est un réel strictement inférieur à \(b,\)  \(f(I) = f(]-\infty, b[) = f(]-\infty,a])\bigcup f([a, b[),\) d'où

\(f(]-\infty, b[)~~=~~]\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x), f(a)] \bigcup [f(a), \displaystyle \lim_{x\rightarrow b}f(x)[~~=~~]\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x), \displaystyle \lim_{x \rightarrow b}f(x)[\)

- Lorsque \(f\) est décroissante, alors \((-f )\) est croissante et on est ramené à un des cas précédents :

par exemple si \(f\) est décroissante sur \(I = [a, b[,~~(-f)\) est croissante sur \(I = [a, b[,\)

donc \((-f)([a, b[) = [-f(a), \displaystyle \lim_{x\rightarrow b}(-f)(x)[~~=~~[-f(a), -\displaystyle \lim_{x\rightarrow b}f(x)[,\) d'où \(f([a, b[) = ]\displaystyle \lim_{x \rightarrow b}f(x), f(a)].\)