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Description de l'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone

On sait déjà que l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle ; cependant lorsque de plus la fonction est strictement monotone, on peut préciser l'intervalle

Proposition : nature de l'image d'un intervalle par une fonction continue strictement monotone

Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle

Si désignent les extrémités de l'intervalle (c'est-à-dire sont des réels ou sont les symboles ) alors les extrémités de l'intervalle sont (ces limites pouvant être elles-mêmes infinies).

De plus les intervalles sont de même nature : fermés, ouverts, ou semi-ouverts.

Remarque

Puisque est continue sur si l'une des bornes, par exemple appartient à alors

Démonstration

La démonstration de la proposition n'est faite que dans les trois cas suivants :

  • Cas où est croissante et on trouve

    En effet, d'une part, comme est un intervalle, on a

    D'autre part, tout élément de est l'image d'un élément

    Or donc

    d'où l'égalité

  • Cas où est croissante et alors

    Nature de l'image d'un intervalle semi-ouvert borné

  • Cas où est croissante et alors

    Nature de l'image d'un intervalle non majoré

Les démonstrations des autres cas peuvent être obtenues à partir des précédentes en utilisant diverses techniques.

Diverses techniques

- Le cas " est croissante et " se traite en suivant la même démarche que dans le cas " est croissante et ".

- Le cas " est croissante et " se traite en suivant la même démarche que dans le cas " est croissante et ".

- Dans tous les autres cas d'intervalle sur lequel est croissante, l'intervalle est la réunion de deux intervalles de type précédent :

par exemple si alors est un réel strictement inférieur à   d'où

- Lorsque est décroissante, alors est croissante et on est ramené à un des cas précédents :

par exemple si est décroissante sur est croissante sur

donc d'où

Légende :
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