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Caractérisation de l'injectivité d'une fonction continue sur un intervalle

On considère les deux fonctions numériques suivantes :

Ces deux fonctions sont continues sur leurs intervalles de définition, mais n'est pas injective alors que est injective.

Ce qui différencie ces deux fonctions, c'est le fait que la fonction est monotone sur son intervalle de définition alors que la fonction ne l'est pas.

On a en fait la proposition suivante :

Proposition : Caractérisation de l'injectivité d'une fonction continue sur un intervalle

Soit une fonction continue sur un intervalle.

1) Si est strictement monotone, alors elle est injective

2) Si est injective, alors elle est strictement monotone

Démonstration : Partie 1) de la proposition

strictement monotone injective

On suppose par exemple que la fonction est strictement croissante sur un intervalle ;

alors quels que soient les éléments distincts on a, comme est totalement ordonné,

soit donc

soit donc

dans les deux cas sont distincts, ce qui est la définition de " est injective".

Démonstration : Partie 2) de la proposition

continue et injective strictement monotone

est plus complexe à établir.

Première étape

Soient deux éléments de vérifiant (rappel : n'est ni vide ni réduit à un point).

Comme est injective et totalement ordonné, on a soit soit

  • si on montre que

On suppose donc et soit ( est donc dans puisque est un intervalle).

On veut montrer que

On raisonne par l'absurde :

- si on a donc ; or est continue sur donc sur l'intervalle contenu dans ; donc d'après le "Théorème des valeurs intermédiaires", il existe un appartenant à tel que or est différent de car on a ; cela est en contradiction avec l'hypothèse injective.

- si on a et le même raisonnement conduit à dire qu'il existe un dans tel que ce qui est aussi absurde.

  • si on montre que par un raisonnement identique au précédent, en intervertissant les rôles joués par

On suppose donc et soit

On veut montrer que

On raisonne par l'absurde :

- si on a donc ; or est continue sur donc sur l'intervalle contenu dans ; donc d'après le "Théorème des valeurs intermédiaires", 'il existe un dans tel que or est différent de car ; cela est en contradiction avec l'hypothèse injective.

- si on a et le même raisonnement conduit à dire qu'il existe un appartenant à tel que ceci est aussi absurde.

Deuxième étape

On montre que quels que soient les éléments vérifiant la fonction est strictement monotone sur

On montre que la fonction est strictement monotone sur plus précisément on montre que :

- si est strictement croissante sur

- si est strictement décroissante sur

(Ceci se démontrera par un raisonnement identique au précédent en intervertissant les rôles joués par

On suppose ici que sont des éléments de vérifiant

Soient appartenant à donc en particulier d'après la première étape, avec jouant le rôle de jouant le rôle de

Alors on a appartient à donc toujours d'après la première étape, jouant le rôle de jouant le rôle de on déduit

On a bien montré que si

La fonction est bien strictement croissante sur

On suppose maintenant que sont des éléments de vérifiant

Soient appartenant à donc en particulier d'après la première étape,

Alors on a appartient à donc toujours d'après la première étape, on déduit

On a bien montré que si

La fonction est bien strictement décroissante sur

Troisième étape

On montre que la fonction est strictement monotone sur

Soient des éléments de fixés vérifiant

Et soit deux éléments quelconques de

On introduit les deux éléments de suivants :

Ces éléments existent puisque est totalement ordonné, ils dépendent de et de

Les réels vérifient les inégalités suivantes :

Donc est strictement inférieur à

D'après la deuxième étape est strictement monotone sur

Pour déterminer le sens de monotonie, on utilise les inégalités qui prouvent que sont dans l'intervalle Donc l'ordre de va imposer le sens de monotonie de sur

- Si alors est strictement croissante sur

- si alors est strictement décroissante sur

Pour conclure on utilise les inégalités qui prouvent que appartiennent à

- Donc si

La fonction est alors strictement croissante sur

- Et si

La fonction est alors strictement décroissante sur

Remarque

L'hypothèse de la continuité de n'intervient pas dans la démonstration de " strictement monotone est injective"

Une fonction strictement monotone est toujours injective, qu'elle soit continue ou non ; par contre il est essentiel de supposer que est continue sur un intervalle pour démontrer la deuxième partie de la proposition : si on enlève la contrainte de la continuité de la fonction, on peut trouver des fonctions injectives et non monotones.

Exemple : Fonctions injectives et non monotones

On peut trouver des fonctions injectives et non monotones :

1) Soit la fonction numérique définie sur l'intervalle par

La fonction n'est pas continue sur : en effet n'est pas continue en

La fonction est injective sur l'intervalle et pourtant elle n'est pas strictement monotone sur

(Par contre sa restriction à l'intervalle est strictement monotone mais elle y est aussi continue ; de même sa restriction à l'intervalle ).

2) Soit la fonction numérique définie sur l'intervalle par

La fonction est injective sur l'intervalle mais n'est pas strictement monotone sur ; là aussi n'est pas continue sur (discontinuité en et en ).

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