Exemple

On considère la fonction numérique définie sur

La fonction est le quotient des deux fonctions définies sur par

  • Les fonctions sont continues sur ne s'annule pas sur on en déduit que est continue sur

  • Sur la fonction est strictement croissante et positive, la fonction est strictement décroissante et positve, donc la fonction est strictement croissante et positive, donc est strictement croissante comme produit de deux fonctions strictement croissantes positives.

Comme la fonction satisfait aux hypothèses du théorème des fonctions réciproques, on a les résultats suivants :

  1. La fonction admet une fonction réciproque, notée définie sur

On ne sait pas expliciter la fonction mais on sait que :

  • La fonction est continue sur

  • la fonction est strictement croissante sur

De plus les fonctions étant dérivables sur est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables, la fonction du dénominateur ne s'annulant pas sur Sa dérivée, après calculs, est la fonction

D'après le théorème des fonctions réciproques, la fonction est dérivable en tout point image d'un tel que

Mais on a : donc est dérivable en tout point autre que

Donc est dérivable sur

Par exemple, est définie en 1 et donc est dérivable en

Représentation graphique de et de dans un repère orthonormé.

  • Remarques sur la représentation graphique de et de

Comme la tangente à l'origine de la courbe représentative de est horizontale.

On en déduit que la tangente à l'origine de la courbe représentative de est verticale, puisque les deux courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

Comme et comme la droite est asymptote à la courbe représentative de tandis que la droite est asymptote à la courbe représentative de

Légende :
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