Action des transformations élémentaires sur la matrice unité
Echange de lignes ou de colonnes

La question est la suivante : quelle matrice obtient-on lorsque l'on permute les lignes et et de la matrice unité ?

La matrice obtenue a les propriétés suivantes :

  • Les coefficients de la -ième ligne et -ième colonne et de la -ième ligne et jème colonne de la matrice obtenue sont nuls.

  • Les coefficients de la -ième ligne et -ième colonne et -ième ligne et -ième colonne sont égaux à .

  • Les autres coefficients de la diagonale principale sont inchangés donc égaux à et tous les autres coefficients (inchangés eux aussi) sont nuls.

On trouve donc la matrice

Notation : Cette matrice est notée et on l'appelle, dans ce cours, matrice d'échange.

Attention

il y a une ambiguïté dans la notation puisque l'ordre de la matrice n'est pas indiqué. En fait la considération du contexte permettra de le déterminer sans problèmes.

Par exemple, si on a

Il est immédiat que l'échange des colonnes et  et de la matrice unité conduit à la même matrice.

Proposition : Propriétés des matrices du type \Delta_{i,j}

Soit un entier supérieur ou égal à . Pour tout entiers et  et , la matrice est une matrice symétrique, c'est-à-dire telle que et vérifie la propriété : .

Ces résultats sont immédiats, à partir de la formule explicite de .

Multiplication de chaque élément de la i-ième ligne (respectivement la i-ième colonne) par un coefficient \lambda non nul

Toujours la même question : quelle matrice obtient-on lorsque l'on multiplie la ligne ( ) de la matrice unité par un coefficient non nul ?

La matrice obtenue est diagonale, l'élément de la i-ième ligne et i-ième colonne est égal à , les autres éléments de la diagonale principale, inchangés, sont égaux à .

On trouve donc la matrice

Le résultat est évidemment le même si on multiplie la i-ième colonne par le scalaire .

Notation : Cette matrice est notée et est souvent appelée matrice de dilatation.

Exemple :

Addition aux éléments de la i-ième ligne \mathcal L_i de \mathcal I_n (respectivement de la i-ième colonne de \mathcal C_i de \mathcal I_n ) de \alpha fois les éléments correspondants de la j-ième ligne \mathcal L_j de \mathcal I_n (respectivement la j-ième colonne de \mathcal I_n )

On suppose que et .

En modifiant les lignes de , il est clair que la matrice obtenue est la matrice triangulaire appartenant à telle que :

  • Les éléments de la diagonale principale sont tous égaux à

  • Le scalaire se trouve à la i-ième ligne et j-ième colonne

  • Tous les autres éléments sont nuls.

On obtient donc, par la transformation appliquée à , la matrice

De même, la transformation élémentaire appliquée à modifie les colonnes : on obtient une matrice de même type mais où l'élément se trouve à la j-ième ligne et i-ième colonne.

Notation : on note la matrice :

Les matrices de ce type sont souvent appelées matrices de transvection.

Exemple

Ces deux types de matrices, dilatation et transvection, sont appelées matrices élémentaires. En résumé, on a la définition suivante...

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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